ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ်
ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် (အၚ်္ဂလိက်: Least Common Multiple ဟွံသေင်မ္ဂး Lowest Common Multiple, မဖ္ဍန်စကာ LCM) ဟီုမ္ဂးဂှ် ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သင်္ချာ ကေုာံ သဳအိုရဳဂၞန် မ္ဂး၊ ဒှ် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ (Positive integer) မဍောတ်အိုတ် မွဲ မမာန် ဒုင်ပါ်ကရေက် (Divisible) နကဵု ဂၞန်သဇိုင် မကဵုလဝ် ၜါမ ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၠိုင်နူဂှ် ပြေပြေ (ဟွံမဲ ကဵု အကြွင်း/သှ်ေ) ရ။ ယဝ်ရ ပိုယ် နွံကဵု ဂၞန်အလုံ ၜါမ $a$ ကေုာံ $b$ မ္ဂး၊ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် သွက် ဂၞန်ၜါဏအ်ဂှ် ညးစၟတ်သမ္တီ သင်္ကေတ $\text{LCM}(a, b)$ ရ။[၁]
ဥပမာ - ဂၞန် $4$ ကေုာံ $6$ တအ်ဂှ် နွံကဵု ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် ဍေဟ်ဂှ် ဒှ် $12$ ရ ($\text{LCM}(4, 6) = 12$)။ ဟိုတ်မ္ဂးဂှ် ဂၞန် $12$ ဝွံ ဍောတ်အိုတ် ကေုာံ ပါ်ကရေက် နကဵု $4$ လေဝ် ပြေ၊ ပါ်ကရေက် နကဵု $6$ လေဝ် ပြေ ရ။
ဘာသာရပ်ဏအ်ဝွံ ဒှ် သဇိုင်အဓိက သွက် ပရေင်ချပ်ဂၞန် လၟေင်ကမၠောန် အာလ်ဂျဳဗရာ၊ ပရေင်ပါ်ကရေက်၊ ကေုာံ သဳအိုရဳ ဂၞန် ကဆံင်သၠုင် ဂမၠိုင်ရ။ လိက်ပရေင်ဏအ်ဝွံ သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် လဝ် ပရူပရာ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် နကဵု လညာတ် ဘာသာရပ် သင်္ချာ နာနာ ဗွဲမလှဲလး ရ။
၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]နကဵု သၞောတ် သင်္ချာ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Formal definition) မ္ဂး၊ သွက် ဂၞန်အလုံ ၜါမ $a$ ကေုာံ $b$ (မဟွံသေင် ကဵု သုည ၜါလပါ်) ဂှ်၊ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် ဍေဟ် $\text{LCM}(a, b)$ ဝွံ ဒှ် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ $m$ မဍောတ်အိုတ် (Smallest positive integer) မနွံကဵု အင်္ဂလက္သဏ် ဗွဲသၟဝ်ဏအ် ရ - 1. $a \mid m$ ($a$ ပါ် $m$ ပြေ) 2. $b \mid m$ ($b$ ပါ် $m$ ပြေ)
ယဝ်ရ $a$ ဟွံသေင်မ္ဂး $b$ ဂှ် တုပ်သၟဟ် ကဵု $0$ မ္ဂး၊ ညးစၟတ်သမ္တီ လဝ် ဒဒှ်ရ $\text{LCM}(a, 0) = 0$ ရ၊ ဟိုတ်နူကဵု ဂၞန် ဇၟာပ်ဇၟာပ် မပတၟောအ် ကဵု သုည ဂှ် ကတဵုဒှ် သုည ရ။
သွက် ဂၞန် အနုတ် (Negative numbers) တအ်ဂှ်လေဝ်၊ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် ဂှ် ကေတ် ဆ လၟိဟ် အလုံ (Absolute value) ဍေဟ် သၟးရ။ ဥပမာ $\text{LCM}(-4, 6) = 12$ ရ။ လညာတ်ဏအ်ဝွံ ကဵုလဝ် သဇိုင် ညံင်ဂွံ ဖန်ဗဒှ် သၞောတ်ဝ် (Standardization) သွက် ပရေင်ချပ်ဂၞန် အလုံ ဂၠးတိ ရ။
၂။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် (History and Development)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ဝင် ပရေင်ဇၞော်မောဝ် ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် (LCM) ဝွံ ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု ဝင် သဳအိုရဳ ဂၞန် (Number theory) ကေုာံ ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (GCD) ရ။ ပ္ဍဲကဵု ခေတ် ဂရိတ် တြေံ (Ancient Greece)၊ အစာသင်္ချာ ယူကလိတ် (Euclid) မချူလဝ် ပြကိုဟ် Elements ၜိုတ် ဘဳစဳ ၃၀၀ တေအ်ဂှ်၊ ညးတေအ် ဗၟံက်ထ္ၜး လဝ် နဲကဲ "Euclidean algorithm" မဒှ် နဲကဲ သွက်ဂွံ ဂၠာဲ GCD ရ။ ဟိုတ်နူ LCM ကဵု GCD ဆက်စပ် ဒၟံင် ရေင်သကအ် ဂှ်ရ၊ နဲကဲ ယူကလိတ် ဏအ် ဒှ်တမ်ရိုဟ် သွက်ဂွံ ဂၠာဲ LCM နကဵု သၞောတ်ဝ် မပြဟ်အိုတ် ရ။[၂]
ပ္ဍဲကဵု ဂၠးတိ အာရှ လပါ် အိန္ဒိယ ကေုာံ ဍုင်ကြုက် တအ်လေဝ်၊ တၠပညာ သင်္ချာ တအ် စကာကၠုင် လညာတ် LCM သွက်ဂွံ သောင်ကလး ပြသၞာ သၞောတ် ဒသမ ကေုာံ လၟေင် အခိင် ရာသဳဥတု တအ် ရ။ ဥပမာ - ပ္ဍဲ လိက် ပြကိုဟ် ကြုက် တြေံ "Sun Tzu Suan Ching" (ၜိုတ် အေဒဳ ၃-၅ ဗွဝ်ကၠံ) ဂှ်၊ ပရေင်သောင်ကလး လၟိဟ် (Chinese Remainder Theorem) ဂှ် ဒုင်သဇိုင် လတူ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် ရ။
၃။ နဲကဲ ဂၠာဲ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် ဂမၠိုင် (Methods of Computing LCM)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သွက်ဂွံ ဂၠာဲ LCM ဂှ် နွံကဵု နဲကဲ အဓိက ၃ သာ် မစကာ ဒၟံင် ပ္ဍဲ သင်္ချာ ရ။
၃.၁။ နဲကဲ ချူဗၟံက်ထ္ၜး လၟိဟ်ပတၟောအ် (Listing Multiples)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]နဲကဲဏအ်ဝွံ ဒှ် နဲကဲ သဇိုင်အိုတ် ကေုာံ ကၠိုဟ် လောဲသွာ အိုတ် ရ။ သွက်ဂွံ ဂၠာဲ $\text{LCM}(4, 6)$:
- လၟိဟ်ပတၟောအ် သွက် $4$: $4, 8, \mathbf{12}, 16, 20, \mathbf{24}, 28, \dots$
- လၟိဟ်ပတၟောအ် သွက် $6$: $6, \mathbf{12}, 18, \mathbf{24}, 30, \dots$
ဂၞန်ပတၟောအ် မတုပ်သၟဟ် ဂမၠိုင်ဂှ် ဒှ် $12, 24, 36, \dots$ တုဲ၊ အကြာဂှ် ဂၞန် မဍောတ်အိုတ် ဂှ် ဒှ် $12$ ရ။
၃.၂။ နဲကဲ ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် (Prime Factorization)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]နဲကဲ ဏအ်ဝွံ စကာ သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် သွက်ဂွံ ဂၠာဲ LCM ရ။ ဥပမာ - ဂၠာဲ $\text{LCM}(12, 18)$:
- $12 = 2^2 \times 3^1$
- $18 = 2^1 \times 3^2$
သွက်ဂွံ ဂွံ LCM ဂှ် ပိုယ် ဒးရုဲကေတ် ဂၞန်သဇိုင် ဇၟာပ်ဇၟာပ် မွဲ နကဵု ဒြဟတ်စောမ် (Exponent) မဇၞော်အိုတ် ရ။
- သွက် $2$ ဂှ် ဒြဟတ်စောမ် ဇၞော်အိုတ် ဒှ် $\max(2, 1) = 2$
- သွက် $3$ ဂှ် ဒြဟတ်စောမ် ဇၞော်အိုတ် ဒှ် $\max(1, 2) = 2$
ဟိုတ်ဂှ်ရ $\text{LCM}(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ ရ။
၃.၃။ နဲကဲ စကာ ယူကလိတ် အလ်ဂဝ်ရဳသမ် (Using GCD Method)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သွက် ဂၞန် ဇၞော်ဇၞော် တအ်ဂှ်၊ နဲကဲ မပြဟ်အိုတ် ဂှ် ဒှ် ပရေင်စကာ ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (GCD) ရ။ လဒက်ပတန် ဖော်မျူလာ ဂှ် ဒှ်- $$\text{LCM}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{GCD}(a, b)}$$
၄။ ပရေင်ဆက်စပ် ကု ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (Relationship with GCD)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် (LCM) ကေုာံ ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (Greatest Common Divisor - GCD) တအ်ဝွံ ဒှ် အရာ မဆက်စပ် ဒၟံင် ရေင်သကအ် ညံင်ရဴ မသြန် မွဲ မနွံ ၜါ လပါ် ကီုရ။ [၃]
ယဝ်ရ $a$ ကဵု $b$ ဒှ် ဂၞန်အလုံ မ္ဂး၊ သဳအိုရဳ ထ္ၜးလဝ် ဒဒှ်ရ - $$a \times b = \text{LCM}(a, b) \times \text{GCD}(a, b)$$ အရာဏအ်ဝွံ ထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ ယဝ်ရ ပိုယ် တီလဝ် GCD ဍေဟ်တအ် တုဲမ္ဂး၊ ပိုယ် မာန် ဂၠာဲ LCM ဗွဲမပြဟ် နကဵု ကောန်ပျူတာ (Computers) မာန်ရ။
| ဂၞန် $a$ | ဂၞန် $b$ | $a \times b$ | GCD $(a,b)$ | LCM $(a,b)$ | $\text{GCD} \times \text{LCM}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 15 | 20 | 300 | 5 | 60 | 300 |
| 14 | 21 | 294 | 7 | 42 | 294 |
| 8 | 9 | 72 | 1 | 72 | 72 |
၅။ အပလီကေယှေန် ကေုာံ လွပ် ပ္ဍဲ သင်္ချာ (Applications in Mathematics)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သင်္ချာ ဂှ်၊ LCM ဝွံ စကာ ဗွဲမလှဲလး ပ္ဍဲကဵု ပရေင်ပံင် (Addition) ကေုာံ ပရေင်နုက် (Subtraction) ဂၞန်ကဝက် (Fractions) ရ။ ကာလ ပိုယ် မိက်ဂွံ ပံင် ဂၞန်ကဝက် ၜါ မနွံကဵု သၟဝ် (Denominators) တၞဟ်ခြာ မ္ဂး၊ ပိုယ် ဒးဂၠာဲ "သၟဝ်မတုပ် မဍောတ်အိုတ်" (Least Common Denominator - LCD) ရ၊ မဒှ် အရာ မတုပ် ကဵု LCM သွက် ဂၞန် သၟဝ် ၜါ ဂှ် ရ။
ဥပမာ - ပရေင်ပံင် $\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$:
- $\text{LCM}(6, 8) = 24$
- ပြံင်လှာဲ ဂၞန်ကဝက်: $\frac{1 \times 4}{6 \times 4} + \frac{1 \times 3}{8 \times 3} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24}$
- သွဟ်: $\frac{7}{24}$
သာ်ဂှ် ဟွံသေင် ပ္ဍဲကဵု Modular arithmetic ဂှ်လေဝ်၊ LCM ဂှ် စကာ သွက်ဂွံ ဂၠာဲ သွဟ် ပရေင်တုပ်သၟဟ် လၟိဟ် (Congruence equations) ဂမၠိုင် ရ။
၆။ လွပ် ပ္ဍဲ ဘဝလၟိုန်တ္ၚဲ ကေုာံ သိပ္ပံ (Applications in Real Life and Science)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]လညာတ် LCM ဝွံ ဟွံသေင် ဆ ပ္ဍဲ လိက် သင်္ချာ သၟး၊ ပ္ဍဲကဵု ဘဝလၟိုန်တ္ၚဲ ကေုာံ သိပ္ပံ လေဝ် စကာ ဒၟံင် ရ။
- ပရေင်ဆဵုဂဗ အခိင် (Schedule Alignment): ယဝ်ရ ကွဳစက် လိုင်း က (Bus A) မွဲ တိတ် ဇၟာပ် ၁၅ မိနေတ်၊ တုဲ ကွဳစက် လိုင်း ခ (Bus B) မွဲ တိတ် ဇၟာပ် ၂၀ မိနေတ် မ္ဂး။ ယဝ်ရ ကွဳစက် ၜါဏအ် စတိတ် မွဲစွံ ပ္ဍဲ အခိင် နာဍဳ ၈:၀၀ ဂယး မ္ဂး၊ ဍေဟ်တအ် ကလေင် ဆဵု ရေင်သကအ် ပၠန် ပ္ဍဲ ကာသီု (Station) မ္ဂး အခိင်လဵု ရော? သွဟ်ဂှ် ဒှ် $\text{LCM}(15, 20) = 60$ မိနေတ် (မွဲနာဍဳ) ရ။ ဟိုတ်ဂှ်ရ ဍေဟ်တအ် ဆဵု ပၠန် ပ္ဍဲ အခိင် ၉:၀၀ ရ။
- ပရေင်ဂေတ် ဂြဟ်ဂမၠိုင် (Planetary Orbits): ပ္ဍဲကဵု နက္ခတ္တဗေဒ (Astronomy)၊ သွက်ဂွံ ရိုဟ်လၟိဟ် အခိင် ဂြဟ် ၜါ မစိုပ် ဌာန် ဒၞာဲ တုပ်သၟဟ် (Planetary alignment) ဂှ် တၠပညာ သိပ္ပံ တအ် စကာ သၞောတ် LCM သွက် တွဵုအခိင် (Orbital periods) ဂြဟ် တအ် ရ။
- စက်ကဝိုင် (Gears): ပ္ဍဲ ကွတ်စက် (Engineering)၊ သွက် စက်ကဝိုင် ၜါ မနွံ ၚေက် တၞဟ်ခြာ (ဥပမာ ၚေက် ၁၂ ကဵု ၚေက် ၁၈) ဂွံ ကလေင် စိုပ် ဒၞာဲ တမ် မွဲစွံ ပၠန် ဂှ်၊ ဍေဟ် ဒးဂေတ် $\text{LCM}(12, 18) = 36$ ၚေက် ရ။
၇။ လဒက်ပတန် အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebraic Structure)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု သင်္ချာ အာဗ်သတြက် (Abstract Algebra) မ္ဂး၊ လညာတ် LCM ဂှ် ပြံင်လှာဲ စကာ ပ္ဍဲ လဒက်ပတန် မကော်စ Commutative rings ရ။ ဗွဲတၟေင် ပ္ဍဲကဵု Principal Ideal Domains (PID) မ္ဂး၊ LCM သွက် အဳလဳမေန် $a$ ကဵု $b$ ဂှ် ဒှ် အရာ မဖန်ဗဒှ် လဝ် Ideal $I$ မဒှ် ဒၞာဲ ဆက်စပ် (Intersection) အကြာ Ideal မဖန်ဗဒှ် လဝ် နကဵု $a$ ကေုာံ $b$ ရ။[၄]
နကဵု သၞောတ် သင်္ချာ မ္ဂး: $(a) \cap (b) = (\text{LCM}(a, b))$ ရ။ လညာတ်ဏအ်ဝွံ ကဵုလဝ် သဇိုင် သွက်ဂွံ လ္ၚတ် သဳအိုရဳ ဂၞန် ပ္ဍဲ ကဆံင် မလှဲလး အာ ဗီုကဵု Polynomial rings ကေုာံ Algebraic number fields တအ် ရ။
၈။ ကွတ်ကောန်ပျူတာ ကေုာံ အလ်ဂဝ်ရဳသမ် (Computer Science and Algorithms)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ကွတ် ကောန်ပျူတာ (Computer Science) ဂှ်၊ ပရေင်ဂၠာဲ LCM ဂှ် ဒှ် ပရေင်ကမၠောန် သဇိုင် မွဲ ပ္ဍဲ အလ်ဂဝ်ရဳသမ် (Algorithms) ဂမၠိုင် ရ။ ဟိုတ်နူကဵု ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် (Prime factorization) သွက် ဂၞန် ဇၞော်ဇၞော် ဂှ် ကေတ် အခိင် ဗွဲမလအ်လ (Computational complexity) ဂှ်ရ၊ ကောန်ပျူတာ တအ် ဟွံစကာ နဲကဲ ဂှ် သွက်ဂွံ ဂၠာဲ LCM ရ။[၅]
စၞးဂှ် ညးတအ် စကာ Euclidean algorithm သွက်ဂွံ ဂၠာဲ GCD ကိုပ်ကၠာ တုဲ၊ လက္ကရဴ ဂှ် စကာ ဖော်မျူလာ $\text{LCM}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{GCD}(a, b)}$ ရ။ အခိင် အလ်ဂဝ်ရဳသမ် (Time complexity) သွက် နဲကဲ ဏအ်ဂှ် ဒှ် $O(\log(\min(a, b)))$ ရ၊ မဒှ် အရာ မပြဟ်အိုတ် သွက် ကောန်ပျူတာ ရ။
၉။ ပရေင်ကတ်လ္ၚတ် ကေုာံ ပရေင်ပညာ (Education and Study of LCM)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ဘာလ္ၚတ် သင်္ချာ (Mathematics education) တန်သဇိုင် ကေုာံ တန်လဒေါဝ် ဂှ်၊ LCM ဂှ် ဒှ် ပရူပရာ ကိစ္စဇၞော် မွဲ ရ။ သွက်ဂွံ ကဵု ကွးဘာ တအ် ကၠိုဟ်ခၠင် လောဲသွာ ဂှ် အစာသင်္ချာ တအ် စကာ နဲကဲ ထ္ၜးရုပ် နာနာ သာ် ရ။
- Venn Diagrams (ဇယား ဗေန်): ညးတအ် သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် ဂၞန်သဇိုင် တအ် ပ္ဍဲ ဂကောံ ၜါ တုဲ၊ ဒၞာဲ မတုပ် သၟဟ် (Intersection) ဂှ် ဒှ် GCD၊ တုဲ ဂၞန် သီုဖအိုတ် ပ္ဍဲ ဇယား ဂှ် ပတၟောအ် ထောအ် မ္ဂး ဒှ် LCM ရ။
- Cuisenaire rods (ဒုတ် သင်္ချာ): စကာ ဒုတ် မနွံ ဇမၠိင် တၞဟ်ခြာ သွက်ဂွံ ထ္ၜး ဗီုလဵု ဍေဟ်တအ် တွာ် အာ စိုပ် ဇမၠိင် မတုပ် မွဲ ရ။
- Number Line (လၟေင် လဒက်ပတန် ဗလး): ကဵု ကွးဘာ တအ် ဓဇက် လစွံ ပ္ဍဲ လတူ လၟေင် ဂၞန် သွက်ဂွံ ဆဵု ဒၞာဲ မတုပ် ရ။
၁၀။ လၟိဟ်ဂၞန်မဂၠိုင် ကေုာံ လညာတ်ကဆံင်သၠုင် (Multiple Integers and Advanced Concepts)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ၜိုန်ရ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် သဇိုင် ဂှ် ဟီုတွံ သွက် ဂၞန် ၜါမ ကီုလေဝ်၊ LCM ဂှ် မာန် ဂၠာဲ သွက် ဂၞန် မဂၠိုင် နူ ၜါ (ဥပမာ ၃ မ၊ ၄ မ၊ ဟွံသေင်မ္ဂး $n$ မ) မာန် ရ။
သွက် ဂၞန် သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် ဂမၠိုင် $a_1, a_2, \dots, a_n$ မ္ဂး: $$\text{LCM}(a_1, a_2, a_3) = \text{LCM}(\text{LCM}(a_1, a_2), a_3)$$ လညာတ်ဏအ် ထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ ပရေင်ချပ်ဂၞန် LCM ဝွံ နွံကဵု သဘာဝ Associative property ရ။
ပ္ဍဲ သဳအိုရဳ ဂၞန် ကဆံင်သၠုင် (Advanced Number Theory) ဂှ်၊ ပရေင်စၟတ်သမ္တီ LCM သွက် လၟိဟ် $1$ စိုပ် $n$ ဂှ် ဒှ် အရာ မဆက်စပ် ဒၟံင် ကု Prime Number Theorem (သဳအိုရဳ ဂၞန်သဇိုင်) ရ။ $\text{LCM}(1, 2, \dots, n)$ ဂှ် နွံကဵု လၟိဟ် မတုပ် ကြပ်ညောန် ကု $e^n$ အခိင် $n$ ဇၞော် အာ ဗွဲမလောန် ရ။ [၆]
နိဿဲဂမၠိုင်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- ↑ Hardy, G. H. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers, 6th, Oxford University Press, 48-50။
- ↑ Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History, 3rd, Springer, 45-47။
- ↑ Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, 15-18။
- ↑ Ireland, K. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd, Springer-Verlag, 20-25။
- ↑ Cormen, T. H. (2009). Introduction to Algorithms, 3rd, MIT Press, 933-936။
- ↑ Hardy, G. H. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers, 6th, Oxford University Press, 340-345။
ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- Greatest common divisor (ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် - GCD)
- Prime factorization (ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင်)
- Euclidean algorithm (ယူကလိတ် အလ်ဂဝ်ရဳသမ်)
- Number theory (သဳအိုရဳ ဂၞန်)