ဂၞန်ပံင်ကောံ
ဂၞန်ပံင်ကောံ (အၚ်္ဂလိက်: Composite number) ဟီုမ္ဂးဂှ် ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သင်္ချာ (Mathematics) ဂှ် ဒှ် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ (Positive integer) မဇၞော်နူ $1$ တုဲ မနွံကဵု ဂၞန်ပါ် (Divisors) ဂၠိုင်နူ ၜါမ ရ။ နကဵု လညာတ် မွဲသာ်ပၠန်မ္ဂး၊ ဂၞန်ပံင်ကောံ ဝွံ ဒှ် ဂၞန် မဟွံသေင် ကဵု ဂၞန်သဇိုင် (Prime numbers) တုဲ ဍေဟ်တအ်ဂှ် ဒက်ပတန်လဝ် နကဵု ပရေင်ပတၟောအ် ဂၞန်သဇိုင် ဍောတ်တ် ဂမၠိုင် ရ။
ဥပမာ - ဂၞန် $14$ ဂှ် ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ မွဲရ၊ ဟိုတ်မ္ဂး ဍေဟ်ဂှ် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန် ဍောတ်တ် မပ္တံကဵု $1, 2, 7, 14$ တအ် ပြေ (Divisible) ဒၟံင် ရ။ လၟေင် ဂၞန်ပံင်ကောံ အိုတ်သီု တအ်ဂှ် စတံ နူကဵု ဂၞန် $4$ တုဲ ဆက်အာ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...) ရ။
၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) ဂှ် ဒှ် အရာ မကိစ္စဇၞော်အိုတ် မွဲ ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သဳအိုရဳ ဂၞန် (Number theory) ရ။ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် ဍာံပြ သွက် ဂၞန်ပံင်ကောံ ဂှ် ဒှ် "ဂၞန်အလုံ မဇၞော်နူ ၁၊ မမာန် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ တၞဟ်ခြာ မဇၞော်နူ ၁ ကေုာံ မဍောတ်နူ ဇကုဍေဟ်" ရ။
နကဵု သၞောတ် သင်္ချာ (Mathematical notation) မ္ဂး - ဂၞန် $n > 1$ မွဲဂှ် ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ ရ ယဝ်ရ ပိုယ် မာန် ဂၠာဲဆဵု ဂၞန်အလုံ $a$ ကဵု $b$ မနွံကဵု သဘာဝ ဗွဲသၟဝ်ဏအ် မ္ဂး: $$n = a \times b$$ ဒၞာဲဏအ် $1 < a < n$ ကေုာံ $1 < b < n$ ရ။
ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ အိုတ်သီု မဇၞော်နူ $1$ ဂှ် ပါ်လဝ် ၜါ ဂကူ - ဂၞန်သဇိုင် (Prime numbers) ကေုာံ ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) ရ။ ဆဂး ဂၞန် $1$ ဂှ် ဟွံပါလုပ် ပ္ဍဲ ဂကောံ ဂၞန်သဇိုင် ကီု၊ ဟွံပါလုပ် ပ္ဍဲ ဂကောံ ဂၞန်ပံင်ကောံ ကီု ရ။ (ဂၞန် $1$ ဂှ် ဒှ် Unit မွဲ ရ)။[၁]
၂။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်လ္ၚတ် ခေတ်တမၠာ (History and Ancient Studies)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပရေင်လ္ၚတ် လတူ ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) ဝွံ ကတဵုဒှ်လဝ် နူကဵု ခေတ် ဂရိတ် တြေံ (Ancient Greece) တေအ် ရ။ ပ္ဍဲကဵု ပြကိုဟ် ယူကလိတ် ဇြိုတ် မကော်စ Elements (Book VII ကဵု Book IX) မချူလဝ် ပ္ဍဲ ဘဳစဳ ၃၀၀ တေအ်ဂှ်၊ အစာ ယူကလိတ် (Euclid) ဗၟံက်ထ္ၜး လဝ် သဘာဝ သဇိုင် သွက် ဂၞန်ပံင်ကောံ ကေုာံ ဂၞန်သဇိုင် တအ် ဗွဲမချိုတ်ပၠိုတ် ရ။
ပ္ဍဲ ခေတ်ဂှ် တၠပညာ အဳရတဝ်သသဳနဳသ် (Eratosthenes) လေဝ် ဖန်ဗဒှ် လဝ် နဲကဲ မကော်စ ဇာမန် အဳရတဝ်သသဳနဳသ် (Sieve of Eratosthenes) မဒှ် နဲကဲ သွက်ဂွံ ပါ်ကရေက် ကေုာံ ဂၠာဲဆဵု ဂၞန်သဇိုင် ရ။ နဲကဲဏအ်ဝွံ စတံ နူ ဂၞန် ၂ တုဲ ဆက် ပလီု (Cross out) ထောအ် ဂၞန် မဒှ် ဆထပ် (Multiples) ဂၞန် ၂ (ဥပမာ - 4, 6, 8, 10...)၊ တုဲ ဆက် ပလီု ဆထပ် 3 (6, 9, 12...) ရ။ ဂၞန် မဒးဒုင် ပလီု တအ် သီုဖအိုတ် ဂှ် ညးကော်စ ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) ရ။ အရာဏအ်ဝွံ ထ္ၜးကဵု လညာတ် ဝင် ဒဒှ်ရ ဂၞန်ပံင်ကောံ တအ်ဂှ် ဒှ် အရာ မကတဵုဒှ် ကၠုင် နူ ပရေင်ပတၟောအ် ရေင်သကအ် ရ။
၃။ လက္ခဏာ သဘာဝ ဂၞန်ပံင်ကောံ (Properties and Characteristics)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) တအ် နွံကဵု သဘာဝ ကေုာံ လက္ခဏာ မတၟေင် နာနာသာ် ရ:
၁။ လၟိဟ် ဂၞန်ပါ် (Number of Divisors): ဇၟာပ်ဇၟာပ် ဂၞန်ပံင်ကောံ $n$ ဂှ် နွံကဵု လၟိဟ် ဂၞန်ပါ် အောန်အိုတ် ပိ မ ရ။ (ဥပမာ - ဂၞန် 4 ဂှ် နွံ ဂၞန်ပါ် 1, 2, ကဵု 4)။ ၂။ သဘာဝ ဂၞန်စုံ (Even Numbers): ဂၞန်စုံ (Even numbers) အိုတ်သီု မဇၞော်နူ 2 တအ် (ဥပမာ - 4, 6, 8, 10, 12...) ဂှ် ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ သၟး ရ။ ဟိုတ်ဂှ်ရ ဂၞန်ပံင်ကောံ ဍောတ်အိုတ် ဂှ် ဒှ် 4 ရ။ ၃။ သဘာဝ ဂၞန်ဟွံစုံ (Odd Numbers): ၜိုန်ရ ဂၞန်ဟွံစုံ (Odd numbers) ဗွဲမဂၠိုင် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ကီုလေဝ်၊ နွံကဵု ဂၞန်ဟွံစုံ မဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ ဗွဲမဂၠိုင် ရ။ (ဥပမာ - 9, 15, 21, 25, 27...)။ ဂၞန်ပံင်ကောံ ဟွံစုံ မဍောတ်အိုတ် ဂှ် ဒှ် 9 ရ။ ၄။ ပရေင်ဆဵုဂဗ ဂၞန်သဇိုင် အောန်အိုတ် (Smallest Prime Factor): ဇၟာပ် ဂၞန်ပံင်ကောံ $n$ ဂှ် နွံကဵု ဂၞန်သဇိုင် ပါ် (Prime factor) အောန်အိုတ် မွဲ မဍောတ်နူ ဟွံသေင်မ္ဂး တုပ် ကဵု $\sqrt{n}$ ရ။ $\text{Largest prime factor} \leq \sqrt{n}$။
၄။ ဂကူ ဂၞန်ပံင်ကောံ နာနာဂမၠိုင် (Types of Composite Numbers)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သင်္ချာ ကဆံင်သၠုင်၊ ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) တအ်ဂှ် ညးပါ်လဝ် ဂကူ ကေုာံ လဒက်ပတန် နာနာ အတိုင် ဗွဲသၟဝ်ဏအ် ရ -
- ဂၞန်သဇိုင်-ကဝက် (Semiprimes): ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ မဒက်ပတန် လဝ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ၜါ မ ပတၟောအ် ရေင်သကအ် ($n = p_1 \times p_2$) ရ။ ဥပမာ - 4 ($2 \times 2$)၊ 6 ($2 \times 3$)၊ 15 ($3 \times 5$)၊ 21 ($3 \times 7$) ရ။ ဂၞန်တအ်ဏအ် နွံ ၚုဟ်မး သၠုင်အိုတ် ပ္ဍဲ လပါ် ကွတ်ဂီုကၠီု (Cryptography) ရ။
- ဂၞန်သဖဳနိစ် (Sphenic numbers): ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ မဒက်ပတန် လဝ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် တၞဟ်ခြာ ပိ မ ပတၟောအ် ရေင်သကအ် ($n = p_1 \times p_2 \times p_3$) ရ။ ဥပမာ - 30 ($2 \times 3 \times 5$)၊ 42 ($2 \times 3 \times 7$) ရ။[၂]
- ဂၞန်ပံင်ကောံ မသၠုင်အိုတ် (Highly composite numbers): ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ မနွံကဵု လၟိဟ် ဂၞန်ပါ် ဂၠိုင်နူကဵု ဂၞန် အိုတ်သီု မဍောတ်နူ ဍေဟ် ရ။ ဥပမာ - 12 (နွံ ဂၞန်ပါ် 6 မ), 24 (နွံ 8 မ), 36, 48, 60 ရ။ လညာတ် ဏအ်ဝွံ အစာသင်္ချာ ဇၞော် ရာမာနူဂျာန် (Srinivasa Ramanujan) လ္ၚတ်လဝ် ဗွဲမဇြိုဟ်နက် ရ။
၅။ ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် (Prime Factorization)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် (Fundamental theorem of arithmetic) ဟီုတွံလဝ် ဒဒှ်ရ - "ဇၟာပ်ဇၟာပ် ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) အိုတ်သီု ဂှ် ဍေဟ်တအ်ဂှ် ပံင်ကောံ ပါ်ကရေက် ပတိတ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် (Prime numbers) ဂမၠိုင် နကဵု ဗီုပြင် မွဲဗီုဓဝ်ဟေင် (Unique factorization) မာန်ရ"။[၃]
ဥပမာ သွက်ဂွံ ပါ်ကရေက် ဂၞန်ပံင်ကောံ 84 မ္ဂး: $$84 = 2 \times 42$$ $$84 = 2 \times 2 \times 21$$ $$84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$$ $$84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$$
ဗီုပြင် မပါ်ကရေက် တအ်ဏအ်ဂှ် ညးကော်စ "တၞံပါ်ကရေက်" (Factor tree) တုဲ ဍေဟ် ဒှ် သဇိုင် သွက်ဂွံ လ္ၚတ် အလုံ လဒက်ပတန် ဂၞန်ပံင်ကောံ မွဲ ရ။ ပရေင်ပါ်ကရေက် ဏအ် ကဵု အထံက်အပင် သွက်ဂွံ ဂၠာဲ ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (Greatest Common Divisor - GCD) ကေုာံ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် (Least Common Multiple - LCM) ရ။
၆။ သၞောတ်စၟတ်သမ္တီ ကေုာံ အာလ်ဂဝ်ရဳသမ် (Primality Testing and Algorithms)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သွက်ဂွံ စၟတ်သမ္တီ ဒဒှ်ရ ဂၞန်မွဲ ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၞန်ပံင်ကောံ ဂှ် ဒှ် အရာ မကိစ္စဇၞော် ဗွဲမလောန် ပ္ဍဲ ပညာ ကောန်ပျူတာ (Computer Science) ရ။
- နဲကဲ စမ်ပါ် (Trial Division): ဒှ် နဲကဲ သဇိုင်အိုတ် ရ။ သွက်ဂွံ စမ် ဂၞန် $n$ ဂှ် ညးတအ် ပါ် ဍေဟ် ကဵု ဂၞန်သဇိုင် အိုတ်သီု မဍောတ်နူ $\sqrt{n}$ ရ။ ယဝ်ရ ပြေ (Remainder is 0) မ္ဂး ဍေဟ် ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ ရ။
- နဲကဲ အာလ်ဂဝ်ရဳသမ် မသၠုင် (Advanced Algorithms): ပ္ဍဲ ခေတ် ကောန်ပျူတာ မ္ဂး ညးတအ် စကာ သၞောတ် Miller-Rabin primality test ဟွံသေင်မ္ဂး Pollard's rho algorithm သွက်ဂွံ ဂၠာဲ ဂၞန်ပါ် သွက် ဂၞန်ပံင်ကောံ ဇၞော်ဇၞော် ဂမၠိုင် ရ။ နဲကဲ တအ်ဏအ် တွက် ဂၞန်ပြဟ် နူကဵု မၞိဟ် ဗွဲမလောန် ရ။[၄]
၇။ တင်ပတုပ်ရံင် ကဵု ဂၞန်သဇိုင် (Comparison with Prime Numbers)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]လဒက်ပတန် ကေုာံ လက္ခဏာ အကြာ ဂၞန်သဇိုင် ကေုာံ ဂၞန်ပံင်ကောံ ဂှ် တၞဟ်ခြာ အာ ရေင်သကအ် ဗွဲမဇၞော် ရ။
| လက္ခဏာ (Feature) | ဂၞန်သဇိုင် (Prime Numbers) | ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite Numbers) |
|---|---|---|
| ပွံက် (Definition) | နွံ ဂၞန်ပါ် ဆ ၂ မ ဓဝ် (1 ကဵု ဇကုဍေဟ်) | နွံ ဂၞန်ပါ် ဂၠိုင်နူ ၂ မ |
| ဥပမာ ဂၞန် (Examples) | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 | 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 |
| ဂၞန် ဍောတ်အိုတ် (Smallest) | 2 | 4 |
| သဘာဝ စုံ (Evenness) | 2 မွဲဓဝ် ဒှ် ဂၞန်စုံ | ဂၞန်စုံ အိုတ်သီု (မဇၞော်နူ 2) ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ |
| ပရေင်ပါ်ကရေက် (Factorization) | ဟွံမာန် ပါ်ကရေက် ဆက်အာ | မာန် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် |
၈။ လွပ် ပ္ဍဲ သင်္ချာ ကေုာံ ကွတ်ဂီုကၠီု (Applications in Mathematics and Cryptography)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ၜိုန်ရ ဂၞန်ပံင်ကောံ တအ်ဂှ် တုပ် ညံင် ဂၞန် ဓမ္မတာ မွဲ ကီုလေဝ်၊ ပ္ဍဲကဵု လပါ် ဒဳဂျဳတေဝ် (Digital security) မ္ဂး ဍေဟ်တအ် နွံ ၚုဟ်မး သၠုင် ဗွဲမလောန် ရ။
သၞောတ် ဂီုကၠီု တင်ဂၞင် (Cryptography) ဗွဲတၟေင် သၞောတ် RSA (Rivest-Shamir-Adleman) algorithm ဂှ် ဒုင်သဇိုင် လတူ ဂၞန်ပံင်ကောံ မကော်စ ဂၞန်သဇိုင်-ကဝက် (Semiprimes) ရ။ သၞောတ်ဏအ် ဖန်ဗဒှ် လဝ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ဇၞော်ဇၞော် ၜါမ $p$ ကဵု $q$ မပတၟောအ် လဝ် ရေင်သကအ် ဒှ်အာ ဂၞန်ပံင်ကောံ $N = p \times q$ ရ။
နဲကဲ ဂီုကၠီု ဝွံ ဒုင်သဇိုင် လတူ လညာတ် မဟီုတွံ ဒဒှ်ရ "သွက်ဂွံ ပတၟောအ် ဂၞန် ၜါမ ဂှ် လောဲသွာ ရ၊ ဆဂး ယဝ်ရ မၞိဟ်မွဲ ကလိဂွံ ဂၞန်ပံင်ကောံ $N$ မွဲ တုဲ၊ သွက်ဂွံ ကလေင် ပါ်ကရေက် (Factorize) ဂၠာဲ ဂၞန်သဇိုင် တမ် $p$ ကဵု $q$ ဂှ် ဇြိုင်သန် ကေုာံ ကေတ် အခိင် ဗွဲမလအ်လ သွက် ကောန်ပျူတာ ဇၞော်အိုတ် တအ် ရ"။ အရာဏအ် ရ ကဵု ဂီုကၠီု သွက် ဘဏ်၊ အင်တာနက်၊ ကေုာံ ပရေင်ဆက်သွယ် အလုံဂၠးတိ လၟုဟ် ရ။
၉။ ပရေင်ကတ်လ္ၚတ် ကေုာံ ပရေင်ပညာ သင်္ချာ (Mathematics Education and Learning)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ဘာလ္ၚတ် ပညာ သင်္ချာ၊ တၠပညာ တအ် စကာ နဲကဲ သွက်ဂွံ ဗတောန် ကွးဘာ တအ် ညံင်ဂွံ ကၠိုဟ်ခၠင် သဘာဝ ဂၞန်ပံင်ကောံ လောဲသွာ ရ။ နဲကဲ မပြာကတ် မွဲဂှ် ဒှ် ပရေင်စကာ "Cuisenaire rods" (တုံးဆု အရံင် နာနာ) သွက်ဂွံ ထ္ၜး ညံင် ဂၞန်မွဲ ဗီုလဵု ဂွံ ပါ်ကရေက် ဒှ်အာ ၜါကရေက် ရ။
နဲကဲ မွဲပၠန် ဂှ် ဒှ် "စတုရံ ကေုာံ ဇာမန်" (Rectangular grids) ရ။ ဥပမာ သွက် ဂၞန် 12 ဂှ် ကွးဘာ တအ် ဖန်ဗဒှ် ရုပ် စတုရံ နကဵု ဗီုပြင် $1 \times 12$၊ $2 \times 6$၊ ဟွံသေင်မ္ဂး $3 \times 4$ မာန် ရ။ ဟိုတ်နူကဵု ဖန်ဗဒှ် ရုပ် စတုရံ တၞဟ်ခြာ ဂွံ (ဂၠိုင်နူ $1 \times n$) တုဲ၊ ဂၞန် 12 ဂှ် ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ ရ။ ယဝ်ရ ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဗီုကဵု 7 မ္ဂး ဍေဟ် ဖန်ဗဒှ် ဂွံ ဆ $1 \times 7$ မွဲ ဗီု ဓဝ် ရ။[၅]
၁၀။ သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် အနာဂတ် ကေုာံ ပရေင်သုတေသန (Future Perspectives and Research)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]အနာဂတ် သွက် ပရေင်လ္ၚတ် ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite numbers) ဂှ် ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု ပရေင်ဇၞော်မောဝ် ကောန်ပျူတာ ကွမ်တမ် (Quantum computing) ရ။ ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၉၉၄ ဂှ်၊ ပဳတာ ရှော (Peter Shor) ခၞံဗဒှ် လဝ် Shor's algorithm မဒှ် နဲကဲ မမာန် ပါ်ကရေက် ဂၞန်ပံင်ကောံ ဇၞော်ဇၞော် တအ် ဗွဲမပြဟ် လတူ ကောန်ပျူတာ ကွမ်တမ် ရ။
ယဝ်ရ စက်ကောန်ပျူတာ ကွမ်တမ် တအ် ကတဵုဒှ် ကၠုင် ဍာံပြ မ္ဂး၊ ဍေဟ်တအ် မာန် ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင်-ကဝက် (Semiprimes) သွက် သၞောတ် RSA ပ္ဍဲ အခိင် ဗွဲမဂၠေအ် ရ။ ဟိုတ်ဂှ်ရ၊ တၠပညာ သင်္ချာ ကေုာံ ကောန်ပျူတာ တအ် အခိင်လၟုဟ် ဆက်တုဲ လ္ၚတ် သုတေသန ဂၠာဲ နဲကဲ တၟိ သွက်ဂွံ မင်မဲ တင်ဂၞင် ဒဳဂျဳတေဝ် ဟွံကဵု ဒးဒုင် ပလီုပလာ် လောဲသွာ ရောင်။ လညာတ်ဏအ်ဝွံ ကဵု သက်သဳ ဒဒှ်ရ ဂၞန်ပံင်ကောံ ဂှ် ၜိုန်ရ တြေံ ကီုလေဝ် ဍေဟ် ဆက်တုဲ လေပ်ကဵု အရာတၟိ ပ္ဍဲ အနာဂတ် သင်္ချာ ရ။
နိဿဲဂမၠိုင်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- ↑ Hardy, G. H. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers, 6th, Oxford University Press, 2-4။
- ↑ Rosen, K. H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications, 7th, McGraw-Hill, 210-213။
- ↑ Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History, 3rd, Springer, 45-47။
- ↑ Cormen, T. H. (2009). Introduction to Algorithms, 3rd, MIT Press, 927-930။
- ↑ Van de Walle, J. A. (2013). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, 8th, Pearson, 315-318။
ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- ဂၞန်သဇိုင် (Prime numbers)
- သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် (Fundamental theorem of arithmetic)
- Integer factorization (ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်အလုံ)
- Sieve of Eratosthenes (ဇာမန် အဳရတဝ်သသဳနဳသ်)