ထလာ်တိတ်အာနကဵုမာတိကာညိ

ဂၞန်သဇိုင်

စုတ် လေန်ဂမၠိုင်
နူ ဝဳကဳပဳဒဳယာ

ဂၞန်သဇိုင် (အၚ်္ဂလိက်: Prime number) ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ မဇၞော်နူ ၁ ($p > 1$) တုဲ၊ မနွံကဵု ဂၞန်ပါ် (Divisors) ဆ ၜါမဓဝ်ဟေင် - ဂှ်တုန် ၁ ကဵု ဇကုဍေဟ် ရ။ ဥပမာ - ဂၞန် $5$ ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မွဲရ၊ ဟိုတ်နူကဵု ဍေဟ် ပါ်ကရေက် ပြေ ဆကဵု $1$ ကေုာံ $5$ သၟးရ။ တၞဟ်ခြာ နူဂှ် ယဝ်ရ ဂၞန်အလုံ မဇၞော်နူ ၁ မွဲ ဟွံသေင် ဂၞန်သဇိုင် မ္ဂး၊ ဂၞန်ဂှ် ညးကော်စ ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite number) ရ။ ဥပမာ - ဂၞန် $4$ ဂှ် ပါ်ပြေ ကဵု $1, 2, 4$ တုဲ ဍေဟ် ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ ရ။

ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သဳအိုရဳ ဂၞန် (Number Theory) မ္ဂး ဍေဟ်တအ် ဒှ် "မအုတ် သဇိုင်" (Building blocks) သွက် လၟိဟ်ဂၞန် အလုံအိုတ်သီု ရ။ လညာတ်ဏအ်ဂှ် ဒုင်သဇိုင် လတူ သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် (Fundamental theorem of arithmetic) မဟီုတွံလဝ် ဒဒှ်ရ ဇၟာပ် ဂၞန်အလုံ မဇၞော်နူ ၁ အိုတ်သီုဂှ် ဍေဟ်တအ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဟွံသေင်မ္ဂး ဍေဟ်တအ်ဂှ် ပံင်ကောံ ပါ်ကရေက် ပတိတ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် နကဵု ဗီုပြင် မွဲဗီုဓဝ်ဟေင် (Unique factorization) ရ။[၁]

ပ္ဍဲကဵု ခေတ်လၟုဟ် ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် ဟွံသေင် ဆ ပရေင်လ္ၚတ် သဳအိုရဳ သင်္ချာ သၟး၊ ဍေဟ်တအ် ပါလုပ် အဓိက ပ္ဍဲကဵု ကွတ်ကောန်ပျူတာ (Computer Science) ကေုာံ ပရေင်ဂီုကၠီု တင်ဂၞင် ဒဳဂျဳတေဝ် (Cryptography) ဗွဲတၟေင် ပ္ဍဲ သၞောတ် အာရ်အက်စ်အေ (RSA algorithm) ရ။

ဝှာင်:Prime numbers in 100.svg
ဇယား ဂၞန်သဇိုင် နူ ၁ စိုပ် ၁၀၀။ လၟိဟ် ဂၞန် မနွံ အသာ် လိမ္မဴ တအ်ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် ရ။ ဂၞန် ၁ ဂှ် ဟွံပါလုပ် ပ္ဍဲ ဂၞန်သဇိုင် ကေုာံ ဂၞန်ပံင်ကောံ ရ။

၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

ဂၞန်သဇိုင် (Prime numbers) ဝွံ နွံကဵု လဒက်ပတန် အဓိက ပ္ဍဲကဵု ဂကောံ ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ (Natural numbers $\mathbb{N}$) ရ။ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် ဍာံပြ သွက် ဂၞန်သဇိုင် ဂှ် ဒှ် "ဂၞန်အလုံ $p > 1$ မနွံကဵု ဂၞန်ပါ် (positive divisors) ဆ ၜါ မဓဝ်ဟေင်" ရ။

လၟေင် ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် စတံ နူကဵု ဂၞန်ဍောတ်အိုတ် ဂှ် ဒှ် - 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ... (ဆက်အာ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ)။

ပ္ဍဲကဵု လၟေင်ဏအ် -

  • ဂၞန် $2$ ဝွံ ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မနွံကဵု ဗီုပြင် ဂၞန်စုမ် (Even number) ဆမွဲမဓဝ်ဟေင် ရ။ ဂၞန်သဇိုင် သှ်ေဒၟံင် အိုတ်သီု ဂှ် ဒှ် ဂၞန်ဇကောဝ် (Odd numbers) ဖအိုတ် ရ။
  • ဂၞန် $1$ ဂှ် ညးတအ် ဟွံစၟတ်သမ္တီလဝ် နဒဒှ် ဂၞန်သဇိုင် (Nor a prime) ကေုာံ ဟွံဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ (Nor a composite) ရ။ မုဟိုတ်ရောမ္ဂး ယဝ်ရ စၟတ်သမ္တီ $1$ ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မ္ဂး၊ သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် (Fundamental theorem of arithmetic) ဒးဒုင် လီုလာ်အာ မာန်ရ။

၂။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် (History and Development)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

ဝင် ပရေင်လ္ၚတ် ဂၞန်သဇိုင် ဝွံ စတံကၠုင် နူကဵု ခေတ်တမၠာ တေအ်ရ။ တၠပညာ သင်္ချာ ဂရိတ် တြေံ (Ancient Greeks) ဂမၠိုင် ဗွဲတၟေင် ကွးဘာ ဂကောံ ပိုင်သာဂဝ်ရသ် (Pythagoreans) တအ် ပ္ဍဲ ဘဳစဳ ၅၀၀ ဂှ် စကၠိုဟ်ခၠင် လညာတ် သဘာဝ ဂၞန်သဇိုင် တအ် ရ။

ပ္ဍဲ ၜိုတ် ဘဳစဳ ၃၀၀ ဂှ်၊ အစာ သင်္ချာ ယူကလိတ် (Euclid) ချူခၞံ လိက်ပြကိုဟ် မပြာကတ် Elements တုဲ၊ ပ္ဍဲ ပြကိုဟ်ဂှ် ညးတေအ် ပသောင်ကလး လဝ် သဳအိုရဳ ကိစ္စဇၞော် သွက် ဂၞန်သဇိုင် ၜါသာ် -

  1. ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် နွံ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ (Infinitude of primes)။
  2. လညာတ် သဇိုင် သွက် သဳအိုရဳ ပရေင်ပါ်ကရေက် မွဲဗီုဓဝ် (Unique factorization)။

ပ္ဍဲ ခေတ်လဒေါဝ် (Middle Ages) ကေုာံ ခေတ် အေတ်သလာမ် ဇၞော်မောဝ် (Islamic Golden Age) တအ်ဂှ်၊ တၠပညာ မပ္တံကဵု အိဗ်အလ်-ဟာဲသာမ် (Ibn al-Haytham) တအ် ဆက်လ္ၚတ် တီကၠိုဟ် လညာတ် ဝေလ်သာန် (Wilson's theorem) ရ။ ကာလ စိုပ် ခေတ် ၁၇ ဗွဝ်ကၠံ၊ အစာ ပဳယဲ ဒဳ ဖာမတ် (Pierre de Fermat) ကေုာံ စိုပ် ၁၈ ဗွဝ်ကၠံ အစာ လဳယိုနာတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) တအ် ခၞံဗဒှ် သဳအိုရဳ ကဆံင်သၠုင် ဂမၠိုင် မပ္တံကဵု သဳအိုရဳ သၟတ် ဖာမတ် (Fermat's little theorem) ကေုာံ ဇြဟတ် ဂၞန် (Power of primes) ဂမၠိုင် ရ။[၂]

၃။ သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် (Fundamental Theorem of Arithmetic)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ဒှ် ပရေင်ဆက်စပ် အဓိက အကြာ ဂၞန်အလုံ ကေုာံ ဂၞန်သဇိုင် ရ။ သဳအိုရဳ ဏအ် ဟီုတွံ လဝ် ဒဒှ်ရ ဂၞန် $n > 1$ ဇၟာပ်ဇၟာပ်မွဲ ဂှ် ပါ်ကရေက် ပတိတ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် နကဵု ဗီုပြင် မွဲဗီုဓဝ်ဟေင် ရ (Unique prime factorization)။

ဥပမာ သွက်ဂွံ ပါ်ကရေက် ဂၞန် ၃၆၀ (360): $$360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$$ နကဵု သၞောတ် ဒြဟတ်စောမ် (Exponent notation): $$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$$ ဗီုပြင် ဏအ်ဝွံ နွံ ဆ မွဲဗီုဓဝ် ဟေင် သွက် ဂၞန် ၃၆၀ (လၟေင် အစောန် ဂၞန် တအ် ပြံင်လှာဲ ကီုလေဝ် သဘာဝ ဍေဟ် တုပ်တုပ် ရ)။ လညာတ် ဏအ် ပကဵု ညံင် တၠပညာ တအ် ဂွံ ဂၠာဲ ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (Greatest Common Divisor - GCD) ကေုာံ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် (Least Common Multiple - LCM) ဗွဲမလောဲသွာ ရ။

၄။ ပရေင်တန်တဴ မဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ (Infinitude of Primes)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် အိုတ်အာ မာန်ဟာ? ဟွံအိုတ် မာန် ပုဟ်။ ဍေဟ်တအ် နွံ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ (Infinitely many) ရ။ ပရေင်ထ္ၜး သက်သဳ (Proof) သွက် တင်ဏအ်ဂှ် အစာ ယူကလိတ် ချူလဝ် ပ္ဍဲ ပြကိုဟ် Elements မဒှ် သက်သဳ မကျေဝ်ဂေါဝ် ကေုာံ ယုတ္တိနွံ အိုတ် မွဲရ။

သက်သဳ ယူကလိတ် (Euclid's Proof):

  • ပိုယ် ကသပ်စွံ (Assume) ဒဒှ်ရ ဂၞန်သဇိုင် နွံ ဆ လၟိဟ် မအိုတ်အခြာ (Finite) ကဵု ဒှ်ရ။ ကော်စ ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် $p_1, p_2, p_3, \dots, p_n$ ရ။
  • ပတၟောအ် (Multiply) ဂၞန်သဇိုင် အိုတ်သီု တအ်ဂှ် တုဲ ပံင် စုတ် ၁ မ္ဂး ဂွံ ဂၞန်တၟိ မွဲ ကော်စ $N$:

$$N = (p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n) + 1$$

  • ဂၞန် $N$ ဏအ်ဂှ် ဒးဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၞန်ပံင်ကောံ မွဲမွဲ ရ။
  • ယဝ်ရ $N$ ဂှ် ပါ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် မပ္တံကဵု $p_1, p_2, \dots$ မ္ဂး ဍေဟ် သှ်ေ (Remainder) 1 လၟိုန်ရ။ ဟိုတ်ဂှ်ရ ဂၞန် $N$ ဏအ်ဂှ် ပါ် ဟွံပြေ ကဵု ဂၞန်သဇိုင် (မစၟတ်သမ္တီလဝ်) လဵုမွဲကီု ရ။
  • အရာဏအ် ထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ ဒးနွံ ဂၞန်သဇိုင် တၟိ (New prime) မွဲ မဇၞော်နူ $p_n$ မာန် ရောင်။ ဟိုတ်ဂှ်ရ ဂၞန်သဇိုင် တအ် နွံ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ ရ။[၃]

၅။ နဲကဲ ဂၠာဲ ဂၞန်သဇိုင် ကေုာံ ဇာမန် အဳရတဝ်သသဳနဳသ် (Sieve of Eratosthenes)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

သွက်ဂွံ ဂၠာဲ ဂၞန်သဇိုင် ပ္ဍဲ အကြာ လၟိဟ်ဂၞန် မွဲမွဲ မ္ဂး နဲကဲ မပြာကတ် ကေုာံ တြေံအိုတ် ဂှ် ဒှ် **ဇာမန် အဳရတဝ်သသဳနဳသ် (Sieve of Eratosthenes)** ရ။ နဲကဲ ဏအ်ဝွံ ဖန်ဗဒှ် လဝ် နကဵု အစာ သင်္ချာ ဂရိတ် အဳရတဝ်သသဳနဳသ် (Eratosthenes) ပ္ဍဲ ဘဳစဳ ၃ ဗွဝ်ကၠံ ရ။

လၟေင်ကမၠောန် (Algorithm): 1. ချူ စရင် ဂၞန် နူ ၂ စိုပ် လၟိဟ် (ဥပမာ ၁၀၀) မမိက်ဂွံ ဂၠာဲ။ 2. စတံ နူ ဂၞန် $p = 2$ မဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဍောတ်အိုတ်။ 3. ကြက်ပတိတ် (Cross out) ဟွံသေင်မ္ဂး ဇိုတ်ပလီု ထောအ် ဂၞန် မပတၟောအ် ကဵု $p$ အိုတ်သီု (ဥပမာ သွက် 2 မ္ဂး ဇိုတ် 4, 6, 8, 10...)။ 4. ဂၠာဲ ဂၞန် မဟွံဒးဒုင် ဇိုတ်လဝ် ဂတဂှ် မွဲ (ဥပမာ ဂတ 2 ဂှ် 3) တုဲ သမ္တီ ဍေဟ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင်။ 5. ဆက် ဇိုတ်ပလီု ဂၞန် မပတၟောအ် ကဵု ဂၞန်သဇိုင် တၟိ ဂှ် ပၠန် (ဥပမာ သွက် 3 မ္ဂး ဇိုတ် 9, 15, 21...)။ 6. လၟေင် ဏအ်ဝွံ ကၠောန် ဆက်အာ စိုပ် $\sqrt{N}$ မ္ဂး တုဲအာ ရ။ ဂၞန် မသှ်ေဒၟံင် အိုတ်သီု ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ရ။

ဇယား ထ္ၜး ဂၞန်သဇိုင် အကြာ ၁ ကဵု ၁၀၀
ဇယား ဂၞန် (၁ - ၁၀၀)
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100
*(အသာ် ဗကေတ် ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ရ)*

၆။ ဂကူ ဂၞန်သဇိုင် နာနာဂမၠိုင် (Various Types of Primes)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

တၠပညာ သင်္ချာ တအ် ပါ်လဝ် ဂကူ ဂၞန်သဇိုင် နကဵု ဗီုပြင် ဖော်မျူလာ (Formulas) နာနာသာ် ရ။ ဂကူ မပြာကတ် အိုတ် ဂှ် ပါလုပ် -

  • ဂၞန်သဇိုင် မာသေန် (Mersenne primes): ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မနွံကဵု ဗီုပြင် $M_n = 2^n - 1$ ရ။ ဒၞာဲဏအ် $n$ လေဝ် ဒးဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ကီုရ။ ဥပမာ $2^2 - 1 = 3$, $2^3 - 1 = 7$, $2^5 - 1 = 31$ တအ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မာသေန် ရ။ ဂၞန်သဇိုင် မဇၞော်အိုတ် မဂၠာဲဆဵု လဝ် လၟုဟ် (Largest known prime) ဂှ် ဗွဲမဂၠိုင် ဒှ် ဂကူ မာသေန် ဏအ် ရ။[၄]
  • ဂၞန်သဇိုင် ကောန်မွဲမိ (Twin primes): ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ၜါ မနွံ ဗွဲမဆက်စပ် တုဲ တၞဟ်ခြာ ဒၟံင် ၂ ရ။ ဥပမာ (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ဒှ်တံ ရ။ ပြသၞာ မဟီုတွံ ဒဒှ်ရ ဂၞန်သဇိုင် ကောန်မွဲမိ တအ် နွံ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ ဂှ် ဒှ် ပြသၞာ မဟွံဂွံ သွဟ် ဏီ မွဲရ။
  • ဂၞန်သဇိုင် ဖာမတ် (Fermat primes): ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မနွံကဵု ဗီုပြင် $F_n = 2^{2^n} + 1$ ရ။ ဥပမာ $F_0 = 3, F_1 = 5, F_2 = 17$ တအ် ရ။

၇။ ပရေင်ပြးဇး ဂၞန်သဇိုင် ကေုာံ သဳအိုရဳ လၟိဟ်ဂၞန် (Distribution of Primes - Prime Number Theorem)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် ၜိုန်ရ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ ကီုလေဝ်၊ ကာလ ဂၞန် သၠုင်တိုန် ဇၞော်တိုန် မ္ဂး၊ အကြာ ဂၞန်သဇိုင် မွဲ ကဵု မွဲ လ္ၚာဲ အာ (sparser) ရ။ ပရေင်ပြးဇး (Distribution) သွက် ဂၞန်သဇိုင် ဂှ် ဒှ် အရာ မကိစ္စဇၞော် မွဲ ပ္ဍဲ သင်္ချာ ခေတ်တၟိ ရ။

ပ္ဍဲကဵု ခေတ် ၁၈ ဗွဝ်ကၠံ တေအ် ဂေါတ်သ် (Gauss) ကေုာံ လေဂျေန်ဒါ (Legendre) တအ် ပတိုန်ထ္ၜး လညာတ် သဳအိုရဳ လၟိဟ်ဂၞန်သဇိုင် (Prime Number Theorem - PNT) ရ။ သဳအိုရဳ ဏအ် ဟီုတွံ လဝ် ဒဒှ်ရ လၟိဟ် ဂၞန်သဇိုင် မဍောတ်နူ ဟွံသေင်မ္ဂး တုပ် ကဵု ဂၞန် $x$ (ကော်စ သင်္ကေတ $\pi(x)$) ဂှ် နွံ အဆက်အစပ် ကဵု ဖော်မျူလာ - $$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}$$ ဒၞာဲဏအ် $\ln(x)$ ဂှ် ဒှ် လော်ဂရစ်သမ် သဘာဝ (Natural logarithm) ရ။ သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ဂွံ သက်သဳ ဍာံပြ ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၈၉၆ နကဵု တၠပညာ Hadamard ကေုာံ de la Vallée Poussin တအ် ရ။

၈။ စမ်ၜတ် ဂၞန်သဇိုင် (Primality Testing)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

သွက်ဂွံ စၟတ်သမ္တီ ဒဒှ်ရ ဂၞန် မွဲမွဲ ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ဟာ ဟွံသေင် ဂၞန်ပံင်ကောံ ဟာ ဂှ် ညးကော်စ ပရေင်စမ်ၜတ် ဂၞန်သဇိုင် (Primality testing) ရ。

  1. နဲကဲ ပါ်စမ်ၜတ် ဓမ္မတာ (Trial Division): ဒှ် နဲကဲ သဇိုင် အိုတ် ရ။ သွက် ဂၞန် $n$ မ္ဂး ပိုယ် စမ် ပါ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် အိုတ်သီု စတံ နူ ၂ စိုပ် $\sqrt{n}$ ရ။ ယဝ်ရ ပါ် ဟွံပြေ ကဵု မွဲမ မ္ဂး၊ $n$ ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် ရ။ ဆဂး နဲကဲ ဏအ် သွက် ဂၞန် ဇၞော်ဇၞော် တအ် ကေတ် အခိင် လအ်လောန် ရ။
  2. နဲကဲ စမ်ၜတ် မနွံကဵု သံသယ (Probabilistic Tests): ဥပမာ စမ်ၜတ် မဳလာ-ရာဗေန် (Miller-Rabin primality test) ဂှ် စကာ လညာတ် ပြသဘာဗေဒ သွက်ဂွံ စၟတ်သမ္တီ ဂၞန်သဇိုင် ဗွဲမပြဟ် ရ။ နဲကဲ ဏအ် စကာ ဂၠိုင် ပ္ဍဲ သၞောတ် ကောန်ပျူတာ ရ။
  3. နဲကဲ အေကေအက်စ် (AKS Primality Test): ပ္ဍဲ သၞာံ ၂၀၀၂ ဂှ် Agrawal, Kayal ကေုာံ Saxena တအ် ခၞံဗဒှ် နဲကဲ Deterministic မာန် စၟတ်သမ္တီ ဂၞန်သဇိုင် ချိုတ်ပၠိုတ် ပ္ဍဲ အခိင် ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် (Polynomial time) မဒှ် ပရေင်ဇၞော်မောဝ် ဇၞော်အိုတ် မွဲ ရ။

၉။ လွပ် ပ္ဍဲ ကွတ်ကောန်ပျူတာ ကေုာံ ဂီုကၠီု တင်ဂၞင် (Applications in Computing and Cryptography)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

ကိုပ်ကၠာ ခေတ် ၁၉၇၀ တေအ် ဂၞန်သဇိုင် ဂှ် ဒှ် ဆ ပညာ သဳအိုရဳ သၟး ရ။ ဆဂး ပ္ဍဲ ခေတ် ဒဳဂျဳတေဝ် လၟုဟ် ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် ဒှ် သဇိုင် သွက် ခရိပ်တဝ်ဂရပ်ဖဳ (Cryptography) - ကွတ် ပရေင်ဂီုကၠီု တင်ဂၞင် ရ။[၅]

သၞောတ် ဂီုကၠီု မပြာကတ် အိုတ် ဂှ် ဒှ် **သၞောတ် အာရ်အက်စ်အေ (RSA algorithm)** ရ။ သၞောတ် ဏအ် ဒုင်သဇိုင် လတူ လညာတ် သဘာဝ ဂၞန်သဇိုင် အတိုင် ဗွဲသၟဝ်ဏအ် ရ -

  • ပတၟောအ် ဂၞန်သဇိုင် ဇၞော်ဇၞော် ၜါ မ ($p$ ကဵု $q$) ညံင်ဂွံ ဒှ် ဂၞန် $N = p \times q$ ဂှ် လောဲသွာ လောန် သွက် ကောန်ပျူတာ ရ။
  • ဆဂး ယဝ်ရ တီ ဆ ဂၞန် $N$ သၟး တုဲ၊ သွက်ဂွံ ကလေင် ပါ်ကရေက် (Factorize) ဂၠာဲ $p$ ကဵု $q$ ဂှ် ဇြိုင်သန် ကေုာံ ဒးကေတ် အခိင် သၞာံ ဗွဲမဂၠိုင် ရ။

အရာဏအ်ဝွံ ကဵုလဝ် ဂီုကၠီု သွက် ပရေင် ပလံင် တင်ဂၞင် လတူ အင်တာနက် (Internet security), ပရေင် ဘဏ် ကေုာံ ဝပ်သာက် မပ္တံကဵု HTTPS တအ် ရ။

၁၀။ ပြသၞာ မဟွံဂွံ သွဟ် ဏီဂမၠိုင် (Unsolved Problems)

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]

ၜိုန်ရ ပရေင်လ္ၚတ် ဂၞန်သဇိုင် နွံ ဝင် သၞာံ လ္ၚီလ္ၚီ ကီုလေဝ်၊ စဵုကဵု တ္ၚဲဏအ် ပြသၞာ အဓိက (Conjectures) သွက် ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် ဟွံဂွံ သွဟ် ဏီ ဖိုဟ် ရ။

  1. ပရေင်ချပ်ဂၞန် ဂေါလ်ဗာတ် (Goldbach's Conjecture): ပတိုန်ထ္ၜး လဝ် ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၇၄၂။ ဍေဟ် ဟီုတွံ လဝ် ဒဒှ်ရ "ဇၟာပ်ဇၟာပ် ဂၞန်စုမ် မဇၞော်နူ 2 ($e > 2$) အိုတ်သီု ဂှ် ဒက်ပတန် လဝ် နကဵု ပရေင်ပံင်ကောံ ဂၞန်သဇိုင် ၜါ မာန် ရ"။ ဥပမာ $4 = 2+2$, $8 = 3+5$, $12 = 5+7$။ စဵုကဵု လၟုဟ် ကောန်ပျူတာ တအ် စမ်ၜတ် လဝ် ဂၞန် ဇၞော်ဇၞော် ဂွံ သွဟ် ဍာံ ကီုလေဝ်၊ ပရေင်ထ္ၜး သက်သဳ သင်္ချာ ချိုတ်ပၠိုတ် ဟွံမဲ ဏီ ရ။
  2. ပရေင်ချပ်ဂၞန် ဂၞန်သဇိုင် ကောန်မွဲမိ (Twin Prime Conjecture): ဟီုတွံ ဒဒှ်ရ ဂၞန်သဇိုင် ကောန်မွဲမိ (ဥပမာ 11 ကဵု 13) တအ်ဂှ် နွံ ဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ ရ။
  3. ပရေင်ချပ်ဂၞန် ရဳမေန် (Riemann Hypothesis): ဒှ် ပြသၞာ သင်္ချာ မဇၞော်အိုတ် ပ္ဍဲ ဂၠးတိဏအ် ရ။ ဍေဟ်ဝွံ ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု ပရေင်ပြးဇး (Distribution) သွက် ဂၞန်သဇိုင် လတူ ဂၠးတိ ရ။ ယဝ်ရ ပြသၞာ ဏအ် သွဟ် ဂွံ မ္ဂး၊ သဳအိုရဳ ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် ပရေင်ဇၞော်မောဝ် ပြံင်လှာဲ အာ မာန် ရ။

နိဿဲဂမၠိုင်

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]
  1. ↑ Hardy, G. H. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers, 6th, Oxford University Press, 1-3။
  2. ↑ Apostol, T. M. (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, 15-18။
  3. ↑ Ribenboim, P. (1996). The New Book of Prime Number Records, 3rd, Springer, 3-5။
  4. ↑ Crandall, R. (2005). Prime Numbers: A Computational Perspective, 2nd, Springer, 15-20။
  5. ↑ Cormen, T. H. (2009). Introduction to Algorithms, 3rd, MIT Press, 927-935။

ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်

[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]
ကလေင်ကေတ်လဝ် နူ "https://mnw.wikipedia.org/w/index.php?title=ဂၞန်သဇိုင်&oldid=56929"