ပွမပံင်
ပွမပံင် (အၚ်္ဂလိက်: Addition) ဂှ် ပ္ဍဲကဵု ပညာ သင်္ချာ မ္ဂး ဒှ် လၟေင်ကမၠောန် သဇိုင် (Arithmetic operation) အဓိက မွဲ မပံင်ပကောံ ဂၞန် ၜါ ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၠိုင်နူဂှ် ညံင်ဂွံ ဒှ်အာ မွဲလၟိဟ် (Sum ဟွံသေင်မ္ဂး Total) ရ။ ဥပမာ- သတ်အေပဲ ၃ မ ကေုာံ သတ်အေပဲ ၂ မ ပံင်ကောံအာမ္ဂး သီုဖအိုတ် ဒှ်အာ သတ်အေပဲ ၅ မ ရ။ လၟေင်ကမၠောန် ဏအ်ဝွံ ပ္ဍဲ သင်္ချာ မ္ဂး စၟတ်သမ္တီလဝ် နကဵု သင်္ကေတ ပံင် ($+$) ရ။[၁]
ပွမပံင် ဂှ် ဟွံသေင် ဆ ပရေင်ရိုဟ်လၟိဟ် ကပေါတ် သၟး၊ ဍေဟ်ဝွံ ပါလုပ် လ္ၚတ် ပ္ဍဲ အရာ ဗီုပြင် နာနာ မပ္တံကဵု ဂၞန်ကၟက် (Fractions)၊ ဂၞန်ဒသမ (Decimals)၊ ဂၞန်ဟွံဍာံ (Irrational numbers) ကေုာံ ဗေက်တာ (Vectors) တအ် ကီုရ။ ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် ပညာဂၞန် (Arithmetic) မ္ဂး၊ ပွမပံင် ဝွံ ဒှ် သဇိုင် အဓိက သွက် ပွမနုက် (Subtraction)၊ ပွမပတၟောအ် (Multiplication) ကေုာံ ပွမပါ် (Division) ရ။
၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]
ပွမပံင် (Addition) ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် လၟေင်ကမၠောန် မစၟတ်သမ္တီ ပရေင်ပံင်ကောံ (Combining) လၟိဟ် ၜါ သွက်ဂွံ ဂွံ လၟိဟ် အလုံအိုတ်သီု ရ။ ပ္ဍဲကဵု သီအိုရဳ ဂကောံ (Set theory) မ္ဂး၊ ပွမပံင် ဂှ် ဒှ် ပရေင်ပံင်ကောံ (Union) ဂကောံ ၜါ မဟွံမဲ ကဵု အရာ ထပ်ဒၟံင် ရေင်သကအ် ရ (Disjoint union)။
ယဝ်ရ ဂကောံ $A$ နွံကဵု လၟိဟ် $a$ တုဲ ဂကောံ $B$ နွံကဵု လၟိဟ် $b$ မ္ဂး၊ လၟိဟ် ပံင်ကောံ ဂကောံ ၜါဏအ် ဂှ် ဒှ် $a + b$ ရ။ ပရေင်ပံင်ဏအ်ဝွံ ဆေင်စပ် ဒၟံင် ကု အလုံ ဂၞန် သဘာဝ (Natural numbers) ကေုာံ ကပေါတ် ရုပ်ဝတ္ထု (Physical quantities) မာန်ရ။
ပွမပံင် ဝွံ ဍေဟ် ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု အလံင် ဗီုပြင် ဂၠိုင်ကဵုသာ်-
- ပရေင်ရိုဟ် (Counting): မပ္တံကဵု ရိုဟ် မၞိဟ်၊ ကပေါတ်၊ ဒြပ်ရတ်။
- ပရေင်ၜတ်ကၞာတ် (Measuring): မပ္တံကဵု ပံင်ကောံ ဇမၠိင် ၜါ ပၠောပ် မွဲဒၞာဲ။
- ပရေင်ဆုတ်ကွာ် (Translation): ပ္ဍဲ ဂျဳသြမေထြဳ မ္ဂး ပွမပံင် ဝွံ ဒှ် ပရေင်ပြံင်လှာဲ ဒၞာဲ (Displacement) ရ။[၂]
၂။ သင်္ကေတ ကေုာံ ဝေါဟာရ (Notation and Terminology)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပွမပံင် ဂှ် ဗွဲမဂၠိုင် ချူထ္ၜး နကဵု သင်္ကေတ ပံင် ($+$) ရ။ သင်္ကေတ ဏအ်ဝွံ စွံလဝ် ပ္ဍဲ လဒေါဝ် ဂၞန် ၜါ မဒးပံင် (Infix notation) ရ။ အရာ မဒှ် ကၠုင် ဖဵု ဍေဟ်ဂှ် စုတ် သင်္ကေတ တုပ်သၟဟ် ($=$) ရ။
ဥပမာ- $$1 + 1 = 2$$ (မွဲ ပံင် မွဲ တုပ်သၟဟ် ၜါ) $$2 + 2 = 4$$ (ၜါ ပံင် ၜါ တုပ်သၟဟ် ပန်) $$1 + 2 + 3 + 4 = 10$$ (ပရေင်ပံင် ဂၞန် ဗွဲမဂၠိုင်)
ပ္ဍဲကဵု ပရေင်သင်္ချာ (Mathematics) မ္ဂး ဂၞန် မဒးဒုင်ပံင် တအ်ဂှ် ကော်စ Addends (ဂၞန်ပံင်) ဟွံသေင်မ္ဂး Summands ရ။ ဖဵု မတိတ်ကၠုင် နူကဵု ပွမပံင် ဂှ် ကော်စ Sum (လၟိဟ်ပံင်ကောံ) ရ။
| အင်္ဂလိက် (English) | မန် (Mon) | ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Definition) |
|---|---|---|
| Addend / Summand | ဂၞန်ပံင် | ဂၞန် မပါလုပ် ပ္ဍဲ လၟေင်ကမၠောန် ပွမပံင် |
| Sum / Total | လၟိဟ်ပံင်ကောံ | ဖဵု မတိတ်ကၠုင် နူ ပွမပံင် |
| Plus Sign ($+$) | သင်္ကေတ ပံင် | သင်္ကေတ မထ္ၜး ပရေင်ပံင်ကောံ |
| Equals Sign ($=$) | သင်္ကေတ တုပ်သၟဟ် | သင်္ကေတ မထ္ၜး ဖဵု လၟိဟ် |
၃။ လက္ခဏာ သဘာဝဂမၠိုင် (Properties of Addition)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပွမပံင် ဂၞန်တအ်ဝွံ နွံကဵု သဘာဝ ကေုာံ လက္ခဏာ (Properties) အဓိက သွက် သင်္ချာ အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebra) ရ။
၃.၁ လက္ခဏာ ဖလှာဲဒၞာဲ (Commutative Property)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပွမပံင် ဂှ် နွံကဵု သဘာဝ ဖလှာဲဒၞာဲ ရ။ အဓိပ္ပါယ်ဍေဟ်ဂှ် လၟေင်ဒၞာဲ ဂၞန် (Order) ပြံင်လှာဲအာ ကီုလေဝ်၊ ဖဵု လၟိဟ်ပံင်ကောံ ဂှ် ဟွံပြံင်လှာဲ ရ။ $$a + b = b + a$$ ဥပမာ- $4 + 2 = 2 + 4 = 6$ ရ။
၃.၂ လက္ခဏာ ပံင်ကောံ (Associative Property)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ကာလ ပံင်ကောံ ဂၞန် ပိ ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၠိုင်နူဂှ် မ္ဂး၊ ပရေင်ပါ် ဂကောံ (Grouping) ပြံင်လှာဲ အာ ကီုလေဝ် ဖဵု ဟွံပြံင်လှာဲ ရ။ $$(a + b) + c = a + (b + c)$$ ဥပမာ- $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ ကေုာံ $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$ ရ။
၃.၃ အရာသဇိုင် ပံင် (Additive Identity)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သုည ($0$) ဂှ် ဒှ် အရာသဇိုင် ပံင် ရ။ ဂၞန်လဵုမွဲ ဟွံဟီု ယဝ်ရ ပံင် ကဵု သုည မ္ဂး၊ ဖဵုဍေဟ်ဂှ် တုပ်ကဵု ဂၞန် တမ် ဂှ်ရ။ $$a + 0 = a$$ $$0 + a = a$$
၃.၄ ဂၞန်ဒစးဒုင် (Additive Inverse)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သွက် ဇၟာပ် ဂၞန် $a$ ဂှ် နွံကဵု ဂၞန်ဒစးဒုင် $-a$ ရ။ ယဝ်ရ ဂၞန် ၜါဏအ် ပံင်ကောံ မ္ဂး ဖဵုဍေဟ် ဒှ် သုည ရ။ $$a + (-a) = 0$$
၄။ ပွမပံင် ဂၞန်နာနာ (Addition of Specific Numbers)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပွမပံင် ဂှ် ဟွံသေင် ဆ ဂၞန်ဓမ္မတာ (Whole numbers) သၟး၊ ဍေဟ် ပါလုပ် လ္ၚတ် ပ္ဍဲ သၞောတ်ဂၞန် ဗွဲမဂၠိုင် ရ။
- ဂၞန်ပေင် (Integers): ပွမပံင် ဂၞန် အနုတ် (Negative) ကေုာံ အပေါင်း (Positive) ရ။ ဥပမာ- $5 + (-2) = 3$။
- ဂၞန်ကၟက် (Fractions): သွက်ဂွံ ပံင် ဂၞန်ကၟက် မ္ဂး၊ ဒးဖန် ညံင် သၟဝ်ဂၞန် (Denominator) ဂွံတုပ် ရ။
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$
- ဂၞန်ဒသမ (Decimals): ပွမပံင် ဂၞန်ဒသမ ဂှ် ဒးစွံ တိုင် ဒသမ ညံင်ဂွံ ညဳ ရေင်သကအ် တုဲ ပံင် အတိုင် သၞောတ် ဂၞန်ဓမ္မတာ ရ။
- ဂၞန်ကောမ်ပလေတ် (Complex Numbers):
$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$
၅။ နဲကဲ ပရေင်ချပ်ဂၞန် (Methods of Calculation)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]
သွက်ဂွံ ချပ်ဂၞန် ပွမပံင် မ္ဂး နွံကဵု နဲကဲ အာလ်ဂဝ်ရဳသမ် (Algorithm) ဗွဲမဂၠိုင်ရ။ နဲကဲ မပြာကတ်အိုတ် ဂှ် ဒှ် "နဲကဲ ဒယိုင်" (Column addition) ရ။
နဲကဲ လၟေင်ကမၠောန် ဒယိုင် (Column Addition): ၁. စွံ ဂၞန် ၜါ ညံင်ဂွံ ညဳ အတိုင် ကဆံင်ဒၞာဲ (Place value - မွဲ, စှ်, ကၠံ)။ ၂. စပံင် နူကဵု လပါ် ပုင် (ကဆံင် မွဲ) အာ လပါ် ဇွိ။ ၃. ယဝ်ရ ဖဵု ပံင်ကောံ ပ္ဍဲ ကဆံင် မွဲမွဲ ဂှ် ဂၠိုင်နူ ၉ မ္ဂး၊ ဒးစကာ "ပွမယိုက်" (Carrying) လၟိဟ် စှ် အာ ဇရေင် ကဆံင် ဂတဂှ် ရ။[၃]
ပရေင်ချပ်ဂၞန် စိုတ် (Mental Math): မၞိဟ်တအ် စကာ ပရေင်ချပ်ဂၞန် လပါ်စိုတ် သွက် ဂၞန် သၟတ်တအ် ရ။ ဥပမာ- သွက်ဂွံ ပံင် $35 + 47$ မ္ဂး၊ ညးတအ် ပံင် $30 + 40 = 70$ တုဲ $5 + 7 = 12$၊ ဖဵု အိုတ်သီု ဒှ် $70 + 12 = 82$ ရ။
၆။ ဆက်စပ် ကု လၟေင်ကမၠောန် တၞဟ်ဂမၠိုင် (Relationship to Other Operations)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပွမပံင် ဂှ် ဒှ် ရိုဟ်ကၞက် သွက် လၟေင်ကမၠောန် သင်္ချာ တၞဟ်ဂမၠိုင် ရ။
- ပွမနုက် (Subtraction): ဒှ် လၟေင်ကမၠောန် ဒစးဒုင် (Inverse operation) သွက် ပွမပံင် ရ။ $a - b$ ဂှ် တုပ်သၟဟ် ကဵု ပွမပံင် $a$ ကေုာံ ဂၞန်ဒစးဒုင် $b$ ($a + (-b)$) ရ။
- ပွမပတၟောအ် (Multiplication): ပွမပတၟောအ် ဂၞန်ဓမ္မတာ ဝွံ ဒှ် ပရေင်ပံင်ကောံ မထပ်ဆ (Repeated addition) ရ။
$$3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12$$
- Summation (ပွမပံင် လၟိဟ်ဂၠိုင်): ပ္ဍဲ သင်္ချာ ကဆံင်သၠုင် မ္ဂး၊ သွက်ဂွံ ပံင် လၟိဟ် ဗွဲမဂၠိုင် ဂှ် ညးစကာ သင်္ကေတ သဳဂမာ ($\sum$) ရ။
$$\sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n$$
၇။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် (History and Development)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပရေင်လ္ၚတ် ပွမပံင် ဝွံ ကတဵုဒှ်လဝ် နူကဵု ခေတ် တမၠာ တေအ်ရ။ ဂကောံမၞိဟ် အဳဂျေပ် တမၠာ (Ancient Egyptians) ကေုာံ ဗာဘဳလောန် (Babylonians) တအ် စကာကၠုင်လဝ် သၞောတ် ပွမပံင် သွက် ပရေင်ဗေဒင်၊ ဗိသုကာ ကေုာံ သွံရာန် ရ။[၄]
- သင်္ကေတ ပံင် ($+$): ကိုပ်ကၠာ တေအ် မၞိဟ်တအ် စကာ မလိက် သွက်ဂွံ ဟီု "ပံင်" ရ။ သင်္ကေတ $+$ ဏအ်ဝွံ ကတဵုဒှ် ကၠုင် နူကဵု မလိက် လာတေန် "et" (မဂွံအဓိပ္ပါယ် "ကေုာံ" - and) ရ။ သင်္ကေတ ဏအ် စကတဵုဒှ် ပြာကတ် ပ္ဍဲကဵု ဥရောပ ပ္ဍဲ ခေတ် အေဒဳ ၁၅ ဗွဝ်ကၠံ ရ။
- ပ္ဍဲကဵု ဝင် မန် ကေုာံ အိန္ဒိယ တမၠာ မ္ဂး၊ သၞောတ်ဂၞန် သုည (Zero) မကတဵုဒှ်ကၠုင်ဂှ် ကဵု အထံက်အပင် ဗွဲမဇၞော် သွက် ပရေင်ဇၞော်မောဝ် သၞောတ် လၟေင်ကမၠောန် ပွမပံင် ပ္ဍဲ ကဆံင်ဒၞာဲ (Positional value system) ရ။
၈။ ပရေင်ပညာ ကေုာံ ပရေင်ဗတောန် (Education and Pedagogy)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ပရေင်ပညာ သဇိုင် မ္ဂး၊ ကောန်ၚာ် တအ် စလ္ၚတ် ပွမပံင် နူကဵု ပရေင်ရိုဟ်လၟိဟ် ကပေါတ် (Counting physical objects) ရ။
- ရိုဟ်တိုန် (Counting On): ကောန်ၚာ် မွဲ သွက်ဂွံ ပံင် $4 + 3$ မ္ဂး၊ ညးစရိုဟ် နူ $4$ တုဲ ဆက်ရိုဟ်တိုန် ၃ အလန် ($5, 6, 7$) ရ။
- စကာ ကိရိယာ (Use of Manipulatives): ပ္ဍဲ ဘာဗတောန်လိက် မ္ဂး အစာတအ် စကာ တၟအ်၊ က္ဍိုင်၊ ဟွံသေင်မ္ဂး ကလောအ်ဆု (Blocks) သွက်ဂွံ ဗၟံက်ထ္ၜး ဗီုပြင် ပွမပံင် ညံင် ကောန်ၚာ်တအ် ဂွံညာတ်ကေတ် ကၠးကၠး ရ။
- လ္ၚတ် စပ်ကဵု ၁၀ (Making Ten): နဲကဲ သွက်ဂွံ ပံင် ပြဟ်ပြဟ် ဂှ် ဒှ် ပရေင်ဖန် ညံင် ဂၞန် ဂွံပေင် ၁၀ ရ။ ဥပမာ- $8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13$ ရ။
၉။ သိပ္ပံ စိုတ်စရိုတ် ကေုာံ ပရေင်ကၠိုဟ်ခၠင် (Cognitive Science and Psychology)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]နူကဵု သုတေသန သိပ္ပံ စိုတ်စရိုတ် (Cognitive science) မ္ဂး၊ ကောန်မၞိဟ် တအ် နွံကဵု သဘာဝ "Number sense" မဒှ် အစောမ် သွက်ဂွံ တီ လၟိဟ် ကေုာံ ပံင်ကောံ ဗွဲမပြဟ် နူကဵု အခိင် ဍောတ်တ် တေအ်ရ။ လ္ၚတ် ညာတ်ကေတ် ဒဒှ်ရ ဦးနှောက် လပါ် ပရိတ် (Parietal lobe) ဂှ် ကၠောန်ကမၠောန် အဓိက သွက် ပရေင်ချပ်ဂၞန် သင်္ချာ ကေုာံ ပွမပံင် ရ။
ကောန်ၚာ် ဍောတ်တ် ကေုာံ သတ်တိရစ္ဆာန် လ္ၚဵု (ဥပမာ- ကၞုဲ၊ ဂစေံ) တအ်လေဝ် မာန်ကၠိုဟ်ခၠင် ပရေင်ပံင်ကောံ လၟိဟ် ဍောတ်တ် မပ္တံကဵု $1 + 1 = 2$ အတိုင် သဘာဝ ရ။ အရာဏအ်ဝွံ ထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ ပွမပံင် ဂှ် ဒှ် သၞောတ် သဘာဝ မနွံ ပ္ဍဲ ဦးနှောက် သတ္တဝါ တအ် ရ။
၁၀။ သၞောတ် ကောန်ပျူတာ ကေုာံ ဒဳဂျဳတေဝ် (Computational and Digital Systems)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]
ပ္ဍဲကဵု သိပ္ပံ ကောန်ပျူတာ (Computer science) မ္ဂး၊ ပွမပံင် ဝွံ ဒှ် လၟေင်ကမၠောန် သဇိုင် အိုတ် သွက် CPU (Central Processing Unit) ရ။ ကောန်ပျူတာ တအ် စကာ သၞောတ်ဂၞန် ၜါ (Binary number system - 0 ကေုာံ 1) သွက်ဂွံ ချပ်ဂၞန် ရ။[၅]
ပ္ဍဲကဵု အာရဳမေတ္တေတ် လဝ်ဂျေတ် ယူနေတ် (ALU) မ္ဂး နွံကဵု ကိရိယာ အဳလက်ထရဝ်နေတ် မကော်စ "Adders" သွက်ဂွံ ပံင် ဂၞန် Binary ရ။
- Half Adder: ပံင် ဂၞန် Binary ၜါမ (Bits) တုဲ ပတိတ်ကဵု ဖဵု (Sum) ကေုာံ ပွမယိုက် (Carry) ရ။
- Full Adder: ပံင် ဂၞန် Binary ၜါမ ကေုာံ ဂၞန်ယိုက် (Carry in) နူကဵု ကဆံင် ကိုပ်ကၠာ တေအ် ရ။
ကောန်ပျူတာ တအ် ပံင် ဂၞန် ဒဳဂျဳတေဝ် လ္ၚီ ပြကောဋိကိုဋ် အလန် ပ္ဍဲ မွဲ စက္က (Second) မာန်တုဲ၊ ပွမပံင် ဏအ်ဝွံ ဒှ် သဇိုင် သွက် လၟေင်ကမၠောန် တၞဟ် သီုဖအိုတ် မပ္တံကဵု ပရေင်ထ္ၜး ဗီု (Graphics)၊ ပရေင်စက် (AI) ကေုာံ အေန်တာနဲ တအ် ရ။
နိဿဲဂမၠိုင်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- ↑ Enderton, Herbert (1977). *Elements of Set Theory*. Academic Press, pp. 45-50.
- ↑ Devlin, Keith (2000). *The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible*. Macmillan, pp. 78-81.
- ↑ Fosnot, Catherine Twomey (2001). *Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction*. Heinemann, pp. 102-105.
- ↑ Ifrah, Georges (2000). *The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer*. John Wiley & Sons, pp. 120-130.
- ↑ Knuth, Donald (1997). *The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms*. Addison-Wesley, pp. 250-255.
ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- Subtraction (ပွမနုက်)
- Multiplication (ပွမပတၟောအ်)
- Division (mathematics)|Division (ပွမပါ်)
- Arithmetic (ပညာဂၞန်)
- Mathematics (သင်္ချာ)