သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန်
သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် (အၚ်္ဂလိက်: Fundamental theorem of arithmetic) မကော်စ နကဵု ယၟုတၞဟ် သဳအိုရဳ ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် အလုံမွဲ (Unique factorization theorem) ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် သဳအိုရဳ သဇိုင် အဓိကအိုတ် ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သဳအိုရဳ ဂၞန် (Number Theory) ကေုာံ ပညာဂၞန် (Arithmetic) ရ။ သဳအိုရဳဏအ် ဟီုတွံလဝ် ဒဒှ်ရ ဇၟာပ်ဇၟာပ် ဂၞန်အလုံ (Integer) မဇၞော်နူ ၁ ($n > 1$) အိုတ်သီုဂှ် ဍေဟ်တအ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် (Prime number) ဟွံသေင်မ္ဂး ဍေဟ်တအ်ဂှ် ပံင်ကောံ ပါ်ကရေက် ပတိတ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် နကဵု ဗီုပြင် မွဲဗီုဓဝ်ဟေင် (Unique) မာန်ရ (လၟေင် အစောန် ဂၞန် တအ်ဂှ် ဟွံစွံအာရီု)။[၁]
ဥပမာ - ဂၞန် $1200$ ဝွံ ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် မ္ဂး ဂွံဆဵုကေတ် အတိုင် ဗွဲသၟဝ်ဏအ် ရ - $$1200 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2$$ သဳအိုရဳဏအ်ဝွံ ထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ ဂၞန်သဇိုင် (Prime numbers) တအ်ဂှ် ဒှ် "မအုတ် သဇိုင်" (Building blocks) သွက် ဂၞန်အလုံ အိုတ်သီု လတူ ဂၠးတိဏအ် ရ။
၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ဂှ် နွံကဵု တင်သ္ဂုတ်သွာတ် အဓိက ၜါသာ် ရ။ ပထမမွဲဂှ် "ပရေင်တန်တဴ" (Existence) မဒှ် အရာ မဟီုတွံ ဒဒှ်ရ ဇၟာပ် ဂၞန်အလုံ မဇၞော်နူ ၁ ဂှ် ဒးမာန် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ရ။ ဒုတိယမွဲဂှ် "ပရေင်မွဲဗီုဓဝ်" (Uniqueness) မဒှ် အရာ မဟီုတွံ ဒဒှ်ရ ဗီုပြင် ပါ်ကရေက် ဂှ် နွံ ဆ မွဲဗီုဓဝ် ဟေင် ရ။
နကဵု သၞောတ် သင်္ချာ (Mathematical notation) မ္ဂး ယဝ်ရ $n > 1$ ဒှ် ဂၞန်အလုံ မွဲမ္ဂး၊ ဂၞန် $n$ ဂှ် ချူဗၟံက်ထ္ၜး မာန် အတိုင် ဖော်မျူလာ ဗွဲသၟဝ်ဏအ် ရ - $$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} = \prod_{i=1}^k p_i^{a_i}$$ ဒၞာဲဏအ် $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ တအ်ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် (Primes) တုဲ၊ $a_i$ တအ်ဂှ် ဒှ် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ မဇၞော်နူ သုည ($a_i \geq 1$) ရ။
သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ဖန်ဗဒှ် ကဵု သၞောတ်ဝ် မခိုင်ကၠိုက် သွက် ဘာသာရပ် သင်္ချာ ရ။ ယဝ်ရ သဳအိုရဳ ဏအ် ဟွံမဲမ္ဂး၊ ဂၞန်တအ်ဂှ် နွံကဵု ဗီုပြင် လဒက်ပတန် မထုဲထံင် အာ မာန်တုဲ ပရေင်ချပ်ဂၞန် သင်္ချာ ဂမၠိုင် ဒးဆဵုဂဗ အခက်အခုဲ ဗွဲမဇၞော် ရ။
၂။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် (History and Development)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ဝင် သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ဝွံ ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု တၠပညာ သင်္ချာ ဂရိတ် တြေံ ဂမၠိုင် ရ။ ပ္ဍဲ ပြကိုဟ် Elements (Book IX, Proposition 14) မချူလဝ် နကဵု အစာ ယူကလိတ် (Euclid) ၜိုတ် ဘဳစဳ ၃၀၀ တေအ်ဂှ်၊ ညးတေအ် ပသောင်ကလး လဝ် လညာတ် သဇိုင် မကြပ်ညောန် ကု သဳအိုရဳ ဏအ် ရ။ ယူကလိတ် ဟီုတွံ လဝ် ဒဒှ်ရ ယဝ်ရ ဂၞန်မွဲ ဒှ် အရာ မပတၟောအ် လဝ် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင်မ္ဂး၊ ဂၞန်ဂှ် ဟွံမာန် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် တၞဟ်ခြာ သာ် တၞဟ် ရ။[၂]
ဆဂး လညာတ် ယူကလိတ် ဂှ် ဟွံပေင်တၟိုဟ် နကဵု လဒက်ပတန် ခေတ်တၟိ (Modern rigor) ဏီရ။ ညးမစၟတ်သမ္တီ ကေုာံ ပသောင်ကလး သက်သဳပြ (Rigorously proved) သဳအိုရဳ ဏအ် ဗွဲမချိုတ်ပၠိုတ် အိုတ် ဂှ် ဒှ် တၠပညာ သင်္ချာ ဂျာမနဳ အစာ ကာလ် ဖရက်ဒရစ် ဂေါတ်သ် (Carl Friedrich Gauss) ရ။ ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၈၀၁ ဂှ် ဂေါတ်သ် ပတိတ် ပြကိုဟ် မနွံယၟု Disquisitiones Arithmeticae တုဲ ညးတေအ် ဗၟံက်ထ္ၜး လဝ် သဳအိုရဳ ဏအ် နကဵု ဗီုပြင် မခိုင်ကၠိုက် အိုတ် ရ။[၃]
၃။ သဇိုင် သဳအိုရဳ ကေုာံ သက်သဳ (Basic Theory and Proof)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပရေင်ထ္ၜး သက်သဳ (Proof) သွက် သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ဒက်ပတန် လဝ် နကဵု ကဏ္ဍ ၜါ - သက်သဳ သွက် ပရေင်တန်တဴ (Existence) ကေုာံ သက်သဳ သွက် ပရေင်မွဲဗီုဓဝ် (Uniqueness) ရ။
သက်သဳ ပရေင်တန်တဴ (Proof of Existence)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သွက်ဂွံ ထ္ၜး သက်သဳ ဒဒှ်ရ ဇၟာပ် ဂၞန် $n > 1$ ဂှ် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် မာန် ဂှ်၊ ပိုယ် စကာ နဲကဲ သက်သဳ ပရေင်ဆက်စပ် (Proof by strong induction) ရ။
- ဥပမာ သဇိုင်: ယဝ်ရ $n = 2$ မ္ဂး၊ $2$ ဂှ် ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် တုဲတုဲ ရ။
- ယဝ်ရ ဂၞန် အိုတ်သီု မဍောတ်နူ $n$ တအ်ဂှ် ပါ်ကရေက် မာန်မ္ဂး၊ သွက် $n$ ဂှ်၊ ယဝ်ရ $n$ ဒှ် ဂၞန်သဇိုင် မ္ဂး တုဲအာရ။ ယဝ်ရ $n$ ဒှ် ဂၞန်ပံင်ကောံ (Composite) မ္ဂး၊ $n = a \times b$ ဒၞာဲ $1 < a, b < n$ ရ။ နကဵု လညာတ် Induction မ္ဂး $a$ ကဵု $b$ တအ်ဂှ် ပါ်ကရေက် နကဵု ဂၞန်သဇိုင် မာန် တုဲ၊ $n$ လေဝ် ပါ်ကရေက် မာန် ရ။
သက်သဳ ပရေင်မွဲဗီုဓဝ် (Proof of Uniqueness)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သွက်ဂွံ ထ္ၜး သက်သဳ Uniqueness ဂှ် စကာ လညာတ် ယူကလိတ် လေမာ (Euclid's lemma) မဟီုတွံလဝ် ဒဒှ်ရ "ယဝ်ရ ဂၞန်သဇိုင် $p$ မွဲ ပါ် ဂၞန် $ab$ ပြေ (divides $ab$) မ္ဂး၊ $p$ ဂှ် ဒးပါ် $a$ ပြေ ဟွံသေင်မ္ဂး $b$ ပြေ" ရ။ ($p \mid ab \implies p \mid a \lor p \mid b$)။ ယဝ်ရ ဂၞန် $n$ ဂှ် နွံကဵု ဗီုပြင် ပါ်ကရေက် ၜါသာ် မ္ဂး- $$p_1 p_2 \cdots p_r = q_1 q_2 \cdots q_s$$ ဟိုတ်နူကဵု $p_1$ ပါ် လပါ်ပါဲ ပြေ ဂှ်ရ၊ ဍေဟ် ဒးပါ် လပါ်ပုင် ($q_1 q_2 \cdots q_s$) လေဝ် ပြေ ကီုရ။ ဟိုတ်ဂှ်ရ $p_1$ ဂှ် ဒးတုပ် ကဵု $q_j$ မွဲမွဲ ရောင်။ ကာလ ပိုယ် နုက်ပတိတ် လၟိဟ် မတုပ် တအ် ဂှ်မ္ဂး၊ လက္ကရဴအိုတ် လၟိဟ် $p$ ကဵု $q$ တအ် တုပ်သၟဟ် အာ ရေင်သကအ် ရ။
၄။ အပလီကေယှေန် ကေုာံ လွပ် ပ္ဍဲ သင်္ချာ (Applications and Usage in Mathematics)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ဂှ် စကာ ဗွဲမလှဲလး ပ္ဍဲကဵု ပရေင်ဂၠာဲ ဂၞန်ပါ်မဇၞော်အိုတ် (Greatest Common Divisor - GCD) ကေုာံ ဂၞန်ပတၟောအ်မဍောတ်အိုတ် (Least Common Multiple - LCM) ရ။ ယဝ်ရ ပိုယ် တီလဝ် ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် သွက် ဂၞန် ၜါ မ္ဂး၊ ပိုယ် ဂၠာဲ GCD ကဵု LCM လောဲသွာ ဗွဲမလောန် ရ။
ဥပမာ သွက် ဂၞန် $a = 12 = 2^2 \times 3^1$ ကေုာံ $b = 18 = 2^1 \times 3^2$:
- GCD(12, 18): ရုဲကေတ် ဒြဟတ်စောမ် (Exponent) မဍောတ်အိုတ် သွက် ဇၟာပ် ဂၞန်သဇိုင် မတုပ်။ $\min(2,1)$ သွက် $2$၊ ကေုာံ $\min(1,2)$ သွက် $3$။ ဒှ်အာ $2^1 \times 3^1 = 6$။
- LCM(12, 18): ရုဲကေတ် ဒြဟတ်စောမ် မဇၞော်အိုတ်။ $\max(2,1)$ သွက် $2$၊ ကေုာံ $\max(1,2)$ သွက် $3$။ ဒှ်အာ $2^2 \times 3^2 = 36$။
| ဂၞန် $a$ | ဂၞန် $b$ | ပရေင်ပါ်ကရေက် $a$ | ပရေင်ပါ်ကရေက် $b$ | GCD $(a,b)$ | LCM $(a,b)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 12 | 18 | $2^2 \times 3^1$ | $2^1 \times 3^2$ | 6 | 36 |
| 30 | 45 | $2^1 \times 3^1 \times 5^1$ | $3^2 \times 5^1$ | 15 | 90 |
| 28 | 35 | $2^2 \times 7^1$ | $5^1 \times 7^1$ | 7 | 140 |
တင်ဂၞင် သဇိုင် မွဲ ပ္ဍဲ သဳအိုရဳ ဂၞန် ဂှ် $\text{GCD}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$ ရ။
၅။ လဒက်ပတန် ဂၞန် ကေုာံ ဂၞန်သဇိုင်ဂမၠိုင် (Number Structures and Prime Numbers)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် ဒှ် အရာ မကိစ္စဇၞော်အိုတ် သွက် သဳအိုရဳ ဏအ် ရ။ ဂၞန်သဇိုင် ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် ဂၞန်အလုံ မဇၞော်နူ ၁ တုဲ မနွံကဵု ဂၞန်ပါ် (Divisors) ဆ ၜါမဓဝ်ဟေင် (၁ ကဵု ဇကုဍေဟ်) ရ။ ဥပမာ - 2, 3, 5, 7, 11, 13 ဒှ်တမ်။
နူကဵု ခေတ် ယူကလိတ် တေအ် ညးတအ် ထ္ၜးလဝ် သက်သဳ ဒဒှ်ရ ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် နွံ မဟွံမဲကဵု အပိုတ်အခြာ (Infinitely many primes) ရ။ သွက်ဂွံ ဂၠာဲ ဂၞန်သဇိုင် တအ်ဂှ် ညးတအ် စကာ နဲကဲ Sieve of Eratosthenes (ဇာမန် အဳရတဝ်သသဳနဳသ်) ရ။ သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ကဵုလညာတ် ဒဒှ်ရ ဂၞန်လဵု ဟွံဟီု ယဝ်ရ ဂၞန်ဂှ် ဇၞော်မ္ဂး ဍေဟ် ဒက်ပတန်လဝ် နကဵု လၟေင် ဂၞန်သဇိုင် ဂမၠိုင် ရောင်။
၆။ သဳအိုရဳ မဆက်စပ်ဂမၠိုင် (Related Theorems and Concepts)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ဝွံ နွံကဵု ပရေင်ဆက်စပ် ကု သဳအိုရဳ တၞဟ်ဂမၠိုင် ပ္ဍဲ သင်္ချာ မပ္တံကဵု -
- သဳအိုရဳ သဇိုင် အာလ်ဂျဳဗရာ (Fundamental Theorem of Algebra): မဟီုတွံ ဒဒှ်ရ ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် (Polynomial) ဇၟာပ်ဇၟာပ် မွဲ နွံကဵု ရိုဟ် (Roots) အောန်အိုတ် မွဲ ပ္ဍဲ လၟိဟ် ဂၞန်ကောမ်ပလက် (Complex numbers) ရ။
- ဒိုမိန် ပရေင်ပါ်ကရေက် မွဲဗီုဓဝ် (Unique Factorization Domain - UFD): ဒှ် လညာတ် ပ္ဍဲ သင်္ချာ အာဗ်သတြက် (Abstract Algebra) မဟီုတွံ လဝ် ဒဒှ်ရ သၞောတ် ဂၞန် တၞဟ် (ဥပမာ - ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် ဂမၠိုင်) လေဝ် နွံကဵု သဘာဝ မတုပ် ကဵု သဳအိုရဳ ဏအ် ကီုရ။[၄]
၇။ လွပ် ပ္ဍဲ ကွတ်ကောန်ပျူတာ ကေုာံ ခရိပ်တဝ်ဂရပ်ဖဳ (Applications in Computer Science and Cryptography)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ခေတ် ဒဳဂျဳတေဝ် လၟုဟ်၊ သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ဂှ် ဒှ် သဇိုင် အဓိက သွက် ကွတ် ဂီုကၠီု တင်ဂၞင် မကော်စ ခရိပ်တဝ်ဂရပ်ဖဳ (Cryptography) ရ။ ဗွဲတၟေင် ပ္ဍဲ သၞောတ် RSA algorithm ဂှ်၊ ပရေင်ဂီုကၠီု ဒုင်သဇိုင် လတူ ဒဒှ်ရ - "သွက်ဂွံ ပတၟောအ် ဂၞန်သဇိုင် ဇၞော်ဇၞော် ၜါ မ ($p \times q = N$) ဂှ် လောဲသွာ လောန် ရ၊ ဆဂး သွက်ဂွံ ကလေင် ပါ်ကရေက် (Factorize) ဂၞန် $N$ ညံင်ဂွံ ကလေင်ဂွံ $p$ ကဵု $q$ ဂှ် ဇြိုင်သန် ကေုာံ ကေတ် အခိင် ဗွဲမလအ်လ သွက် ကောန်ပျူတာ တအ် ရ"။[၅]
ယဝ်ရ တၠပညာ သင်္ချာ ဟွံသေင်မ္ဂး ကောန်ပျူတာ တအ် မာန် ဂၠာဲဆဵု နဲကဲ မပါ်ကရေက် ဂၞန် ဇၞော်ဇၞော် ဗွဲမပြဟ် မ္ဂး၊ သၞောတ် ဂီုကၠီု အင်တာနက် အလုံဂၠးတိ လီုလာ် အာ မာန် ရ။ ဟိုတ်ဂှ်ရ သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ဟွံသေင် ဆ ပညာ သင်္ချာ သၟး၊ ဍေဟ် ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု ပရေင်ပိုန်ဒြပ် ကေုာံ ပရေင်အုပ်ဓလပ် တင်ဂၞင် ဒဳဂျဳတေဝ် ရ။
၈။ ပရေင်ကတ်လ္ၚတ် ကေုာံ ပရေင်ပညာ (Education and Study of the Theorem)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ပ္ဍဲကဵု ဘာလ္ၚတ် ပညာ သင်္ချာ (Mathematics education) ဂှ်၊ ကွးဘာ တအ် စလ္ၚတ် သဳအိုရဳ ဏအ် ပ္ဍဲ ကဆံင် တန်လဒေါဝ် (Middle school) ရ။ သွက်ဂွံ ကဵု ကွးဘာ တအ် ကၠိုဟ်ခၠင် လောဲသွာ ဂှ် ညးတအ် စကာ "တၞံပါ်ကရေက်" (Factor Trees) ရ။
နဲကဲ တၞံပါ်ကရေက် ဂှ် ဒှ် နဲကဲ ထ္ၜးရုပ် (Visual representation) မွဲရ။ ဥပမာ သွက်ဂွံ ပါ်ကရေက် 60:
- $60$ ပါ် လပါ် $6$ ကဵု $10$
- $6$ ဆက်ပါ် လပါ် $2$ ကဵု $3$ (ဂၞန်သဇိုင်)
- $10$ ဆက်ပါ် လပါ် $2$ ကဵု $5$ (ဂၞန်သဇိုင်)
- လက္ကရဴအိုတ် ဂွံ $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$ ရ။
၉။ ပရေင်ပါ်ပါဲ နကဵု လညာတ် တၞဟ်ခြာဂမၠိုင် (Analysis from Alternative Mathematical Perspectives)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]ၜိုန်ရ သဳအိုရဳ ဏအ်ဝွံ ဍာံပြ သွက် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ (Integers $\mathbb{Z}$) ကီုလေဝ်၊ ပ္ဍဲကဵု သင်္ချာ ကဆံင်သၠုင် ဂှ် ညးတအ် လ္ၚတ် ဆက်အာ သွက် လဒက်ပတန် ဂၞန် တၞဟ်ခြာ ရ။ ဥပမာ ပ္ဍဲကဵု လဒက်ပတန် Ring of integers $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ဂှ်၊ သဳအိုရဳ ပရေင်ပါ်ကရေက် မွဲဗီုဓဝ် ဝွံ လီုလာ် အာ ရ။
ပ္ဍဲ လဒက်ပတန် ဂှ် ဂၞန် $6$ ဝွံ ပါ်ကရေက် မာန် ၜါ ဗီု - 1. $6 = 2 \times 3$ 2. $6 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$
အရာဏအ် ထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ဂှ် ဒှ် သဘာဝ တၟေင် (Special property) သွက် ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ သၟး တုဲ၊ သွက် ဂကောံ ဂၞန် မလှဲလး အာ တအ်ဂှ် သ္ဒးစကာ လညာတ် ဇၞော်မောဝ် တၞဟ် (ဥပမာ - Ideal theory) ရ။
၁၀။ အနာဂတ် သင်္ချာ ကေုာံ သဳအိုရဳဂၞန် (Future of Mathematics and Number Theory)
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]အနာဂတ် သွက် သဳအိုရဳ သဇိုင် ပညာဂၞန် ကေုာံ ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် (Prime factorization) ဂှ် နွံကဵု ပရေင်ပြံင်လှာဲ ဗွဲမဇၞော် ဟိုတ်နူကဵု ပရေင်ဇၞော်မောဝ် ကောန်ပျူတာ ကွမ်တမ် (Quantum Computing) ရ။
ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၉၉၄ ဂှ် ပဳတာ ရှော (Peter Shor) ညးမဒှ် တၠပညာ သုတေသန ခၞံဗဒှ် လဝ် Shor's algorithm မဒှ် အရာ မမာန် ပါ်ကရေက် ဂၞန်သဇိုင် ဇၞော်ဇၞော် တအ် ဗွဲမပြဟ် လတူ ကောန်ပျူတာ ကွမ်တမ် ရ။ ယဝ်ရ ကောန်ပျူတာ ကွမ်တမ် ဇၞော်ဇၞော် တအ် ကတဵုဒှ် ကၠုင် ဍာံပြ မ္ဂး၊ သၞောတ် ဂီုကၠီု RSA တအ် ဒးဒုင် ပလီုပလာ် မာန် တုဲ၊ တၠပညာ သင်္ချာ တအ် ဒးဂၠာဲ နဲကဲ တၟိ သွက်ဂွံ မင်မဲ တင်ဂၞင် (Post-quantum cryptography) ရောင်။
နိဿဲဂမၠိုင်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- ↑ Hardy, G. H. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers, 6th, Oxford University Press, 2-3။
- ↑ Stillwell, J. (2010). Mathematics and Its History, 3rd, Springer, 45-48။
- ↑ Gauss, C. F. (1986). Disquisitiones Arithmeticae. Springer, 15-18။
- ↑ Ireland, K. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd, Springer-Verlag, 10-14။
- ↑ Cormen, T. H. (2009). Introduction to Algorithms, 3rd, MIT Press, 927-930။
ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်
[ပလေဝ်ဒါန် | ပလေဝ်ဒါန် တမ်ကၞက်]- Prime number (ဂၞန်သဇိုင်)
- Integer factorization (ပရေင်ပါ်ကရေက် ဂၞန်အလုံ)
- Euclid's elements (ပြကိုဟ် ယူကလိတ် ဇြိုတ်)
- RSA algorithm (သၞောတ် အာရ်အက်စ်အေ)