အဳကွေယှေန်

အဳကွေယှေန် (အၚ်္ဂလိက်: Equation) ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် ပရေင်ဟီုတွံ သင်္ချာ (Mathematical statement) မွဲ မထ္ၜးကဵု ဒဒှ်ရ လစွံ သင်္ချာ (Mathematical expressions) ၜါ နွံကဵု ၚုဟ်မး မတုပ်သၟဟ် ရေင်သကအ် ရ။ ပ္ဍဲကဵု အဳကွေယှေန် ဗွဲမဂၠိုင်ဂှ်၊ ညးတအ် စကာ သင်္ကေတ တုပ်သၟဟ် "$=$" (Equals sign) သွက်ဂွံ ပါ်ကရေက် လစွံ လပါ်ပါဲ ကေုာံ လစွံ လပါ်ပုင် ရ။

အဳကွေယှေန် ဝွံ ဒှ် သဇိုင် အဓိကအိုတ် ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သင်္ချာ (Mathematics) ကေုာံ သိပ္ပံ နာနာ သာ် ရ။ ဍေဟ်တအ်ဂှ် စကာ သွက်ဂွံ သောင်ကလး ပြသၞာ၊ သွက်ဂွံ ဂၠာဲ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ (Unknown variables)၊ ကေုာံ သွက်ဂွံ ချူဗၟံက်ထ္ၜး သၞောဝ် သဘာဝ မပ္တံကဵု သၞောဝ် ရူပဗေဒ (Laws of Physics) တအ် ရ။ ဥပမာ သဇိုင်အိုတ် သွက် အဳကွေယှေန် ဂှ် ဒှ် $x + 3 = 5$ ရ၊ ဒၞာဲဏအ် $x$ ဂှ် ဒှ် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တုဲ၊ သွဟ် ဍေဟ်ဂှ် ဒှ် $x = 2$ ရ။

ဗီုရုပ် ထ္ၜး ဖော်မျူလာ အဳကွေယှေန် ကွာဒရက်တစ် (Quadratic formula) မဒှ် သဇိုင် အဓိက ပ္ဍဲ အာလ်ဂျဳဗရာ သွက်ဂွံ ဂၠာဲ သွဟ် $x$။

၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)

အဳကွေယှေန် ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒက်ပတန် လဝ် နကဵု လစွံ သင်္ချာ (Expressions) ၜါ မဆက်စပ် ဒၟံင် ကု သင်္ကေတ တုပ်သၟဟ် "$=$" ရ။ လစွံ သင်္ချာ တအ်ဂှ် ဒက်ပတန် လဝ် နကဵု ဂၞန် ဓမ္မတာ (Constants)၊ ဂၞန်ပြံင်လှာဲ (Variables)၊ ကေုာံ သင်္ကေတ လၟေင်ကမၠောန် မပ္တံကဵု ပံင်၊ နုက်၊ ပတၟောအ်၊ ပါ် ($+$, $-$, $\times$, $\div$) တအ် ရ။

ပ္ဍဲကဵု အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebra)၊ အဳကွေယှေန် မွဲ ဂှ် နွံကဵု ဂၞန်ပြံင်လှာဲ မွဲ ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၠိုင်နူဂှ် ရ။ တင်ရန်တၟအ် အဓိက သွက် ပရေင်သောင်ကလး အဳကွေယှေန် ဂှ် ဒှ် သွက်ဂွံ ဂၠာဲ ၚုဟ်မး သွက် ဂၞန်ပြံင်လှာဲ တအ် ဂှ် ညံင်ဂွံ ပကဵု ညံင် အဳကွေယှေန် ဂှ် ဂွံ ဍာံပြ (True statement) ရ။ ၚုဟ်မး တအ်ဂှ် ညးကော်စ "သွဟ်" (Solutions or Roots) ရ။

အဳကွေယှေန် နွံကဵု သဘာဝ ၜါ သာ် -

1. အဳကွေယှေန် တုပ်သၟဟ် လၟိုန် (Identities): ဒှ် အဳကွေယှေန် မဍာံပြ လၟိုန် သွက် ဇၟာပ် ၚုဟ်မး ဂၞန်ပြံင်လှာဲ အိုတ်သီု။ ဥပမာ: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$။
2. အဳကွေယှေန် တန်တဴ အကာဲအရာ (Conditional Equations): ဒှ် အဳကွေယှေန် မဍာံပြ ဆ ပ္ဍဲကဵု ၚုဟ်မး ချိုတ်ပၠိုတ် မွဲ ဟွံသေင်မ္ဂး ၜါ သၟး ရ။ ဥပမာ: $2x - 4 = 0$ မဍာံပြ ဆ ကာလ $x = 2$ သၟး ရ။

၂။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် (History and Development)

ဝင် ပရေင်ဇၞော်မောဝ် အဳကွေယှေန် ဝွံ ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု ဝင် အာလ်ဂျဳဗရာ ဗွဲမဇၞော် ရ။ ပ္ဍဲ ခေတ် ဘေဘဳလုံ (Babylonian mathematics) ၜိုတ် ဘဳစဳ ၂၀၀၀ တေအ်ဂှ်၊ ညးတအ် တီ နဲကဲ သောင်ကလး ပြသၞာ မဆက်စပ် ကု အဳကွေယှေန် ကွာဒရက်တစ် (Quadratic equations) ရ၊ ဆဂး ညးတအ် စကာ လိက်ပတ် ဝေါဟာရ သၟး၊ ဟွံမဲ ကဵု သင်္ကေတ သင်္ချာ ဏီ ရ။

ပ္ဍဲ ဗွဝ်ကၠံ ၉ ဂှ် တၠပညာ သင်္ချာ အာရပ် အာလ်-ခဝါရေစ်ဇမဳ (Al-Khwarizmi) မချူလဝ် ပြကိုဟ် "The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing" ဂှ် ဖန်ဗဒှ် လဝ် သဇိုင် သွက် အာလ်ဂျဳဗရာ ခေတ်တၟိ တုဲ ညးတေအ် ဗၟံက်ထ္ၜး လဝ် နဲကဲ သောင်ကလး အဳကွေယှေန် နကဵု လၟေင်ကမၠောန် စှ်ေစှ်ေ ရ။

သင်္ကေတ တုပ်သၟဟ် "$=$" ဂှ် ကတဵုဒှ် လဝ် ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၅၅၇ နကဵု တၠပညာ သင်္ချာ ဝေလ် (Welsh) ယၟု ရဝ်ဗာတ် ရေကောတ် (Robert Recorde) ရ။ ညးတေအ် ဖန်ဗဒှ် လဝ် သင်္ကေတ ဏအ် ဟိုတ်နူ ညးတေအ် ဍောင်ၜိုတ် ကဵု ပရေင်ချူ အရေဝ် "is equal to" ဂၠိုင်ဂၠိုင် ဝါ ဂှ်ရ။ ညးတေအ် စကာ ပၞောတ် တုပ်သၟဟ် ၜါ ထပ် ဟိုတ်နူ "ဟွံမဲ ကဵု အရာလဵု မွဲ မတုပ်သၟဟ် အာ နူကဵု ပၞောတ် ၜါ ဏအ် ရ" သာ်ဝွံ ညးတေအ် ဟီုလဝ် ရ။

၃။ ဂကူ အဳကွေယှေန် ဂမၠိုင် (Types of Equations)

အဳကွေယှေန် တအ်ဝွံ ပါ်ကရေက် လဝ် နကဵု ဗီုပြင် နာနာ သာ် အတိုင် အကာဲအရာ သင်္ချာ ဍေဟ်တအ် ရ။

သ္ၚိအင် ထ္ၜး ဂကူ အဳကွေယှေန် အဓိက ဂမၠိုင်

ဂကူ အဳကွေယှေန် (Type)	ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Definition)	ဥပမာ (Example)
အဳကွေယှေန် လဳနဳယာ (Linear Equation)	အဳကွေယှေန် မနွံကဵု ဂၞန်ပြံင်လှာဲ အစောံစောမ် (Power) ၁ သၟး။ ထ္ၜး ရုပ် ပၞောတ် တပ်တပ်။	$ax + b = 0$ ဟွံသေင်မ္ဂး $y = mx + c$
အဳကွေယှေန် ကွာဒရက်တစ် (Quadratic Equation)	အဳကွေယှေန် မနွံကဵု အစောံစောမ် သၠုင်အိုတ် ၂။ ထ္ၜး ရုပ် ခေါက် (Parabola)။	$ax^2 + bx + c = 0$
အဳကွေယှေန် ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် (Polynomial Equation)	အဳကွေယှေန် မနွံကဵု အစောံစောမ် ဓမ္မတာ မဇၞော် နူ ၂ ($x^3, x^4, \dots$)။	$x^3 - 4x^2 + x - 6 = 0$
အဳကွေယှေန် တြဳဂဝ်နဝ်မေထြဳ (Trigonometric Equation)	အဳကွေယှေန် မပါလုပ် ကဵု လၟေင် တြဳဂဝ် (sin, cos, tan)။	$\sin(x) + \cos(x) = 1$
အဳကွေယှေန် ဒစ်ဖရေန်ရှေယ် (Differential Equation)	အဳကွေယှေန် မဆက်စပ် ကု ၚုဟ်မး အပြံင်အလှာဲ (Derivatives)။	$\frac{dy}{dx} = k \cdot y$

၄။ အဳကွေယှေန် ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် (Polynomial Equations)

အဳကွေယှေန် ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် ဂှ် ဒှ် အဳကွေယှေန် မနွံကဵု ဂၞန်ပြံင်လှာဲ မွဲ ဟွံသေင်မ္ဂး ဂၠိုင်နူဂှ် မနွံကဵု ဒြဟတ် အစောံစောမ် အလုံ (Non-negative integer powers) ရ။ ဍေဟ်တအ်ဂှ် ပါ်ကရေက် လဝ် နကဵု "ဒဳဂရဳ" (Degree) မဒှ် အစောံစောမ် ဇၞော်အိုတ် ပ္ဍဲ အဳကွေယှေန် ဂှ် ရ။

• ဒဳဂရဳ ၁ (Linear): $ax + b = 0$
• ဒဳဂရဳ ၂ (Quadratic): $ax^2 + bx + c = 0$
• ဒဳဂရဳ ၃ (Cubic): $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

သွက် အဳကွေယှေန် လဳနဳယာ ကေုာံ ကွာဒရက်တစ် ဂှ်၊ ပိုယ် နွံကဵု ဖော်မျူလာ သောင်ကလး ဗွဲမချိုတ်ပၠိုတ် ရ။ ဥပမာ သွက် ကွာဒရက်တစ် မ္ဂး စကာ ဖော်မျူလာ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ရ။ ဆဂး ပ္ဍဲ ဗွဝ်ကၠံ ၁၉ ဂှ် တၠပညာ အေဗယ် (Niels Henrik Abel) ကေုာံ ဂါလွိုက် (Évariste Galois) တအ် ထ္ၜးလဝ် သက်သဳ ဒဒှ်ရ သွက် အဳကွေယှေန် ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ် မနွံ ဒဳဂရဳ ၅ ကေုာံ လတူဂှ်၊ ဟွံမဲ ကဵု ဖော်မျူလာ အာလ်ဂျဳဗရာ သာမည သွက်ဂွံ သောင်ကလး (Abel-Ruffini theorem) ရ။

၅။ အဳကွေယှေန် ဒစ်ဖရေန်ရှေယ် (Differential Equations)

အဳကွေယှေန် ဒစ်ဖရေန်ရှေယ် (Differential equations) ဝွံ ဒှ် အဳကွေယှေန် မဆက်စပ် ဒၟံင် ကု လုပ်ယောင် (Function) မွဲ ကေုာံ ၚုဟ်မး အပြံင်အလှာဲ ဍေဟ် (Derivatives) ရ။ ပ္ဍဲကဵု သိပ္ပံ ကေုာံ အေန်ဂျေန်နဳယာ (Engineering)၊ လုပ်ယောင် တအ် ဗွဲမဂၠိုင် ထ္ၜးကဵု လၟိဟ် ရုပ်ဝတ္ထု (Physical quantities) တုဲ ၚုဟ်မး အပြံင်အလှာဲ တအ် ထ္ၜးကဵု လဟိုင် အပြံင်အလှာဲ (Rates of change) ရ။

အဳကွေယှေန် ဒစ်ဖရေန်ရှေယ် ဝွံ ပါ်ကရေက် လဝ် အဓိက ၜါ သာ် -

1. Ordinary Differential Equations (ODEs): မနွံကဵု ဂၞန်ပြံင်လှာဲ အမှီ (Independent variable) ဆ မွဲ မဓဝ် သၟး ရ။ ဥပမာ သၞောဝ် ပရေင်ချဳဓရာင် နယူတန် ဍာဲက် လတူ ဏအ် ရ။
2. Partial Differential Equations (PDEs): မနွံကဵု ဂၞန်ပြံင်လှာဲ အမှီ ဂၠိုင်နူ မွဲ တုဲ ပါလုပ် ကဵု Partial derivatives ရ။ ဥပမာ သဳအိုရဳ လပှ် ကေုာံ အဳကွေယှေန် ပရေင်ပြးဇး ဂမ္တဴ (Heat equation) ရ။

၆။ လက္ခဏာ ကေုာံ ဥပဒေသ သင်္ချာ (Properties and Mathematical Rules)

အဳကွေယှေန် မွဲဝွံ တုပ်သၟဟ် ကု ချိန်ခွင် (Balance scale) မွဲ ကီုရ။ ယဝ်ရ ပိုယ် ဖန်ဇန် အရာ မွဲ ပ္ဍဲ လပါ်ပါဲ မ္ဂး၊ ပိုယ် ဒးဖန်ဇန် အရာ ဂှ် တုပ်တုပ် ပ္ဍဲ လပါ်ပုင် သွက်ဂွံ မင်မဲ ဓဝ်တုပ်သၟဟ် (Equality) ရ။ လက္ခဏာ သဇိုင် ဂမၠိုင် ဂှ် ဒှ် -

• လက္ခဏာ ပွမပံင် (Addition Property): ယဝ်ရ $a = b$ မ္ဂး၊ $a + c = b + c$ ရ။
• လက္ခဏာ ပွမနုက် (Subtraction Property): ယဝ်ရ $a = b$ မ္ဂး၊ $a - c = b - c$ ရ။
• လက္ခဏာ ပွမပတၟောအ် (Multiplication Property): ယဝ်ရ $a = b$ မ္ဂး၊ $a \times c = b \times c$ ရ။
• လက္ခဏာ ပွမပါ် (Division Property): ယဝ်ရ $a = b$ တုဲ $c \neq 0$ မ္ဂး၊ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ရ။

လက္ခဏာ ဏအ်ဝွံ ဒှ် ကိရိယာ အဓိက သွက်ဂွံ "နုက်ပတိတ်" (Isolate) ဂၞန်ပြံင်လှာဲ ပ္ဍဲ အခိင် ပိုယ် သောင်ကလး အဳကွေယှေန် ရ။

၇။ နဲကဲ သောင်ကလး အဳကွေယှေန် (Methods of Solving Equations)

သွက်ဂွံ သောင်ကလး အဳကွေယှေန် မွဲ ဂှ် နွံကဵု နဲကဲ နာနာ သာ် -

1. နဲကဲ အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebraic Manipulation): စကာ လက္ခဏာ သဇိုင် မပ္တံကဵု ပံင်၊ နုက်၊ ပတၟောအ်၊ ပါ် သွက်ဂွံ ပဒေါအ် လဝ် ဂၞန်ပြံင်လှာဲ မွဲ လပါ် (Isolate the variable)။
2. နဲကဲ ဂၠာဲ ဂၞန်ပါ် (Factoring): ဗွဲတၟေင် သွက် အဳကွေယှေန် ပဝ်လဳနဝ်မဳယာယ်။ ယဝ်ရ $A \times B = 0$ မ္ဂး၊ $A = 0$ ဟွံသေင်မ္ဂး $B = 0$ ရ။ ဥပမာ $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2$ ဟွံသေင်မ္ဂး $x = 3$။
3. နဲကဲ ဓဇက် ရုပ် (Graphical Method): ဓဇက် ရုပ် လုပ်ယောင် (Functions) ၜါ ပ္ဍဲကဵု ဗလး Cartesian coordinate တုဲ ဂၠာဲ ဒၞာဲ ဍေဟ်တအ် ဇီုကပိုက် (Intersection points) ရ။
4. နဲကဲ လၟိဟ် (Numerical Methods): သွက် အဳကွေယှေန် မဇြိုင် ဗွဲမလောန် မဟွံမာန် သောင်ကလး နကဵု ဖော်မျူလာ လောဲသွာ တအ်ဂှ်၊ ညးတအ် စကာ အလ်ဂဝ်ရဳသမ် ကောန်ပျူတာ (Algorithms) မပ္တံကဵု နဲကဲ နယူတန်-ရပ်ဖ်ဆောန် (Newton-Raphson method) သွက်ဂွံ ဂၠာဲ သွဟ် မကြပ်ညောန် အိုတ် (Approximations) ရ。

၈။ အပလီကေယှေန် ပ္ဍဲ ရူပဗေဒ ကေုာံ သိပ္ပံ (Applications in Physics and Science)

အဳကွေယှေန် ဝွံ ဒှ် အရေဝ်ဘာသာ သွက် သိပ္ပံ ရ။ သၞောဝ် သဘာဝ သီုဖအိုတ် ဂှ် ချူဗၟံက်ထ္ၜး လဝ် နကဵု အဳကွေယှေန် ရ -

• သၞောဝ် ပရေင်ချဳဓရာင် နယူတန် (Newton's Second Law): $F = ma$ (ဒြဟတ် = ဒြပ်ထု $\times$ ပရေင်ပြဟ်)။ ဒှ် သဇိုင် သွက် ရူပဗေဒ ခေတ်တြေံ (Classical Mechanics) ရ။
• အဳကွေယှေန် မက်စ်ဝဲလ် (Maxwell's Equations): ဒက်ပတန် လဝ် နကဵု အဳကွေယှေန် ဒစ်ဖရေန်ရှေယ် ၄ သာ် မသောင်ကလး ပရူ သဘာဝ လလဳ ကေုာံ သံလိုက် (Electromagnetism) ရ။
• အဳကွေယှေန် အာင်သတာင် (Einstein's Mass-Energy Equivalence): $E = mc^2$ (ဒြဟတ် = ဒြပ်ထု $\times$ လဟိုင် လျး အစောံ ၂)။ ဒှ် အဳကွေယှေန် မပြာကတ် အိုတ် ပ္ဍဲ ဂၠးတိ ရ။
• အဳကွေယှေန် သရဝ်ဒေန်ဂါ (Schrödinger Equation): သဇိုင် သွက် သဳအိုရဳ ကွမ်တမ် (Quantum mechanics) မသောင်ကလး ပရူ သဘာဝ လပှ် ကောန်ဒကုတ် သၟဝ်အက်တမ် ရ။

၉။ ပရေင်ဆက်စပ် ကု ဂျဳသြမေထြဳ (Relationship with Geometry)

ဂျဳသြမေထြဳ ဇၞော်မောဝ် (Analytic geometry) မဖန်ဗဒှ် လဝ် နကဵု ရနေး ဒေးကာတ် (René Descartes) ဂှ် ပံင်ကောံ လဝ် အာလ်ဂျဳဗရာ ကေုာံ ဂျဳသြမေထြဳ နကဵု အဳကွေယှေန် ရ။

ပ္ဍဲကဵု ဗလး သၞောတ် ကဝ်အဝ်ဒဳနိတ် (Coordinate system) မ္ဂး -

• အဳကွေယှေန် $y = mx + c$ ဝွံ ထ္ၜးကဵု ပၞောတ် တပ်တပ် (Straight line) မွဲ ရ။
• အဳကွေယှေန် $x^2 + y^2 = r^2$ ဝွံ ထ္ၜးကဵု ဗလး ခဝိုင် (Circle) မနွံ ဗဟဵု 0,0 ကေုာံ ဇမၠိင် ကဝက်ဗဟဵု $r$ ရ။

လညာတ်ဏအ်ဝွံ ကဵုလဝ် သဇိုင် သွက်ဂွံ သောင်ကလး ပြသၞာ ဂျဳသြမေထြဳ နကဵု လၟေင်ကမၠောန် အာလ်ဂျဳဗရာ ရ။

၁၀။ အနာဂတ် သင်္ချာ ကေုာံ အဳကွေယှေန် (Future of Mathematics and Equations)

အနာဂတ် သွက် ပရေင်လ္ၚတ် အဳကွေယှေန် ဝွံ ဆက်စပ် ဒၟံင် ကု ကွတ် သိပ္ပံ ကောန်ပျူတာ (Computer Science) ကေုာံ ဥာဏ်ပညာ ကောန်ပျူတာ (Artificial Intelligence) ဗွဲမဇၞော် ရ။ လၟုဟ် မ္ဂး တၠပညာ တအ် စကာ AI သွက်ဂွံ သောင်ကလး အဳကွေယှေန် ဒစ်ဖရေန်ရှေယ် မဇြိုင် ဗွဲမလောန် မပ္တံကဵု သၞောဝ် ပရေင်ချဳဓရာင် ကျာ ကေုာံ ဍာ် (Navier-Stokes equations) တအ် ရ။

သာ်ဂှ် ဟွံသေင်၊ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် ကွမ်တမ် ကောန်ပျူတာ (Quantum computing) ဂှ်လေဝ် မာန် ပံက် ကဵု အခေါင် သွက်ဂွံ သောင်ကလး အဳကွေယှေန် လၟိဟ် ဇၞော်ဇၞော် ဗွဲမပြဟ် လောန် နူ ကောန်ပျူတာ ဓမ္မတာ ဂၠိုင်ကဵု ဆ ရ။ ၜိုန်ရ ကွတ်ပညာ တအ် ပြံင်လှာဲ အာ ကီုလေဝ်၊ အဳကွေယှေန် ဝွံ သက်ဆက် ဒှ် ဒၟံင် အရေဝ်ဘာသာ သဇိုင် သွက် အလုံ စက္ကဝါ မွဲ လၟိုန် ကာလ ရောင်။

ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်

• အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebra)
• သင်္ချာ (Mathematics)
• အဳကွေယှေန် လဳနဳယာ (Linear equation)
• သဳအိုရဳ ကွမ်တမ် (Quantum theory)