ၚုဟ်မး ဟွံတီဏီ

ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ဟွံသေင်မ္ဂး ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ (အၚ်္ဂလိက်: Unknown variable ဟွံသေင်မ္ဂး Variable) ဟီုမ္ဂးဂှ် ပ္ဍဲကဵု ဘာသာရပ် သင်္ချာ၊ ဗွဲတၟေင် ပ္ဍဲကဵု အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebra) မ္ဂး၊ ဒှ် သင်္ကေတ (Symbol) ဗွဲမဂၠိုင် မစကာ မလိက် မပ္တံကဵု $x$, $y$, ကေုာံ $z$ သွက်ဂွံ စၞးပြု ထ္ၜးကဵု လၟိဟ်ဂၞန် မဟွံတီ ဏီ၊ ဟွံသေင်မ္ဂး လၟိဟ်ဂၞန် မမာန် ပြံင်လှာဲ အကာဲအရာ ရ။ လညာတ် ဏအ်ဝွံ ဒှ် သဇိုင် အဓိကအိုတ် ပ္ဍဲကဵု ပရေင်ချပ်ဂၞန် သင်္ချာ ခေတ်တၟိ တုဲ၊ ဍေဟ် ဖန်ဗဒှ် ကဵု ညံင် ပိုယ် ဂွံ သောင်ကလး ပြသၞာ သင်္ချာ မနွံကဵု လဒက်ပတန် ထုဲထံင် တအ် မာန် ရ။

ယဝ်ရ သင်္ကေတ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တအ် ဟွံမဲ မ္ဂး၊ ပိုယ် ဒးချူ ဂၞန် သက်သက် တုဲ ဟွံမာန် ဖန်ဗဒှ် ဖော်မျူလာ (Formulas) ဟွံသေင်မ္ဂး အဳကွေယှေန် (Equations) အလုံစုံ မာန် ရ။ လိက်ပရေင် ဏအ်ဝွံ သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် လဝ် ပရူပရာ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ နကဵု လညာတ် ဝင်၊ သင်္ချာ၊ သိပ္ပံ ကေုာံ ကွတ်ကောန်ပျူတာ တအ် ဗွဲမလှဲလး ရ။

ဝှာင်:Variable x.svg

သင်္ကေတ $x$ ဂှ် ဒှ် သင်္ကေတ မစကာ ဂၠိုင်အိုတ် သွက် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ပ္ဍဲ သင်္ချာ ရ။

၁။ နိဒါန် ကေုာံ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် (Introduction and Definition)

နကဵု သၞောတ် သင်္ချာ ပွံက်အဓိပ္ပါယ် မ္ဂး "ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ" (Unknown) ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် လၟိဟ် မပိုယ် ဒးဂၠာဲ သွဟ် ပ္ဍဲကဵု အဳကွေယှေန် မွဲ ရ။ ဥပမာ ပ္ဍဲကဵု အဳကွေယှေန် $2x + 3 = 11$ ဂှ်၊ $x$ ဝွံ ဒှ် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ရ။ ကာလ ပိုယ် သောင်ကလး ဍေဟ် မ္ဂး ပိုယ် ဂွံ သွဟ် $x = 4$ ရ။

တၞဟ်ခြာ နူဂှ်၊ "ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ" (Variable) ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် သင်္ကေတ မစၞးပြု ကဵု လၟိဟ် မမာန် ပြံင်လှာဲ ပ္ဍဲကဵု လၟေင် အပိုင်အခြာ မွဲ ရ။ ဥပမာ ပ္ဍဲကဵု ဖန်ယှေန် (Function) $y = f(x) = x^2$ ဂှ်၊ $x$ ကဵု $y$ ၜါဏအ်ဝွံ ဒှ် ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ ရ။ $x$ ပြံင်လှာဲ မ္ဂး၊ $y$ လေဝ် ပြံင်လှာဲ ဗက် အာ ကီု ရ။

ပွံက်အဓိပ္ပါယ် ၜါဏအ် ၜိုန်ရ တၞဟ်ခြာ ညိည ကီုလေဝ်၊ ပ္ဍဲကဵု လွပ် ဓမ္မတာ မ္ဂး မၞိဟ်တအ် စကာ ထုဲနှဴ ဒၟံင် ရေင်သကအ် ရ။ လညာတ် သဇိုင် အဓိက ဂှ် ဒှ် ပရေင်စကာ သင်္ကေတ သွက်ဂွံ စၞးပြု ကဵု လၟိဟ် မဟွံမဲ ကဵု ၚုဟ်မး မချိုတ်ပၠိုတ် ပ္ဍဲ အခိင် မချူ ဍေဟ် ရ။

၂။ ဝင် ကေုာံ ပရေင်ဇၞော်မောဝ် (History and Development)

ဝင် ပရေင်စကာ သင်္ကေတ သွက် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ဝွံ ဒှ် ဝင် မဇၞော်မောဝ် ကၠုင် ဗွဲမလအ်လ ပ္ဍဲ သမိုင်း သင်္ချာ ရ။

ပ္ဍဲ ခေတ် ဂရိတ် တြေံ ဂှ်၊ အစာသင်္ချာ ဒိုင်အဝ်ဖန်တပ်သ် (Diophantus) (ၜိုတ် အေဒဳ ၃ ဗွဝ်ကၠံ) ဝွံ စကာလဝ် သင်္ကေတ မွဲ ဗီု မကော်စ "arithmos" သွက်ဂွံ ထ္ၜး ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ရ။ ဆဂး ညးတေအ် စကာ ဆ မွဲ သင်္ကေတ ဓဝ် ရ။

ပ္ဍဲ ဗွဝ်ကၠံ ၉ တေအ်၊ အစာသင်္ချာ အာရပ် အလ်-ခိုဝါရစ်ဇမဳ (Al-Khwarizmi) ညးမချူ ပြကိုဟ် အာလ်ဂျဳဗရာ ဂှ်၊ စကာ လဝ် ဝေါဟာရ "shay" (မဂွံအဓိပ္ပါယ် 'အရာဝတ္ထု') သွက် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ရ။

စိုပ် ဗွဝ်ကၠံ ၁၆ တေအ်၊ တၠပညာ သင်္ချာ ပြင်သေတ် ဖရန်သွာ ဗဳယေတာ (François Viète) ဂှ် ဒှ် မၞိဟ် ပထမအိုတ် မစကာ မလိက် နူ အက္ခရ် ရောမ သွက်ဂွံ စၞးပြု ၚုဟ်မး ရ။ ညးတေအ် စကာ မလိက် သွိုရ် (Vowels - A, E, I, O, U) သွက် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ကေုာံ မလိက် ဗျည် (Consonants) သွက် ၚုဟ်မး တန်တဴ (Constants) ရ။

လက္ကရဴ အိုတ် ပ္ဍဲ သၞာံ ၁၆၃၇ ဂှ်၊ ရေနဳ ဒေကတာတ် (René Descartes) ပ္ဍဲ ပြကိုဟ် ညး La Géométrie ဂှ်၊ ဖန်ဗဒှ် လဝ် သၞောတ်ဝ် မစကာ ဒၟံင် စဵုကဵု တ္ၚဲဏအ် ရ - ညးတေအ် စကာ မလိက် လက္ကရဴ အိုတ် ပ္ဍဲ အက္ခရ် ($x, y, z$) သွက် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တုဲ၊ စကာ မလိက် လပါ်စ ($a, b, c$) သွက် ၚုဟ်မး တန်တဴ (Constants) ရ။

၃။ သဇိုင် လညာတ် ကေုာံ သင်္ကေတဂမၠိုင် (Basic Concepts and Symbols)

ပ္ဍဲကဵု သင်္ချာ မ္ဂး ပိုယ် ပါ်ကရေက် သင်္ကေတ မလိက် တအ် နကဵု လွပ် အဓိက ဂမၠိုင် အတိုင် ဗွဲသၟဝ်ဏအ် ရ -

• ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ (Unknowns): ဗွဲမဂၠိုင် စကာ $x, y, z$။ ဥပမာ - ဂၠာဲ $x$ ပ္ဍဲ $x^2 - 5x + 6 = 0$။
• ၚုဟ်မး တန်တဴ (Constants/Parameters): ဗွဲမဂၠိုင် စကာ $a, b, c$ ဟွံသေင်မ္ဂး သင်္ကေတ ဂရိတ် မပ္တံကဵု $\alpha, \beta, \gamma$။ ဥပမာ - ဖော်မျူလာ $ax^2 + bx + c = 0$။ ဒၞာဲဏအ် $x$ ဂှ် ဒှ် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တုဲ၊ $a, b, c$ တအ်ဂှ် ဒှ် ၚုဟ်မး တန်တဴ မစၞးပြု သွက် ဂၞန် ဓမ္မတာ မွဲမွဲ ရ။
• ဖန်ယှေန် (Functions): ဗွဲမဂၠိုင် စကာ $f, g, h$။ ဥပမာ $f(x) = 2x + 1$။
• လၟိဟ်ဂၞန် (Indices/Counters): ဗွဲမဂၠိုင် စကာ $i, j, k, m, n$ သွက်ဂွံ ထ္ၜး ဂၞန်အလုံ ဓမ္မတာ (Integers)။ ဥပမာ - ပ္ဍဲ ဇယား လၟိဟ် ကေုာံ သ္ၚိအင် (Matrix) တအ်၊ $\sum_{i=1}^n x_i$ ရ။

လွပ် သင်္ကေတ ဏအ်ဝွံ ဒှ် သၞောတ်ဝ် အလုံဂၠးတိ (International standard) မွဲ မဖန်ဗဒှ် ကဵု ညံင် တၠပညာ သင်္ချာ ဂၠးတိ ဂွံ ကၠိုဟ်ခၠင် ရေင်သကအ် လောဲသွာ ရ။

၄။ ဗီုပြင် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ပ္ဍဲ အာလ်ဂျဳဗရာ (Types of Unknowns in Algebra)

ပ္ဍဲ လညာတ် အာလ်ဂျဳဗရာ ကေုာံ ဖန်ယှေန် ဂှ်၊ ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ (Variables) တအ် ပါ်လဝ် နကဵု အဓိက ၜါ သာ် ရ -

1. ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ ဗၠးၜး (Independent Variables): ဒှ် ၚုဟ်မး မမာန် ပြံင်လှာဲ ဟွံသေင်မ္ဂး ရုဲစှ် လဝ် နကဵု ပၟိက်စိုတ် ဇကု ဗွဲမဗၠးၜး ရ။ ပ္ဍဲ ဇယား ဂရပ် (Graph) မ္ဂး ဍေဟ်တအ် နွံ လတူ လစွံ X (x-axis) ရ။ ဥပမာ - အခိင် ($t$)။
2. ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ ဒုင်သဇိုင် (Dependent Variables): ဒှ် ၚုဟ်မး မပြံင်လှာဲ အာ အတိုင် ၚုဟ်မး ဗၠးၜး ဂှ် ရ။ ပ္ဍဲ ဂရပ် မ္ဂး ဍေဟ်တအ် နွံ လတူ လစွံ Y (y-axis) ရ။ ဥပမာ - ဇမ္ၚောဲ ($d$) မပြံင်လှာဲ ဗက် အခိင် ($t$)။

သ္ၚိအင် ထ္ၜး ပရေင်ဆက်စပ် ၚုဟ်မး ဗၠးၜး ကေုာံ ၚုဟ်မး ဒုင်သဇိုင်

အကာဲအရာ ဥပမာ	ၚုဟ်မး ဗၠးၜး (Independent)	ၚုဟ်မး ဒုင်သဇိုင် (Dependent)
လဟိုင် ကွဳစက် ($v$) ကဵု အခိင် ($t$)	အခိင် ($t$)	လဟိုင် ($v$)
ပရေင်သွံရာန် ($S$) ကဵု ၚုဟ်မး ပရေင်မက်ဂစိုတ် ($A$)	သြန် မက်ဂစိုတ် ($A$)	လၟိဟ် ပရေင်သွံရာန် ($S$)
ဓါတ်ဂမ္တဴ ဍာ် ($T$) ကဵု အခိင် မစဲ ဓါတ်ပၟတ် ($t$)	အခိင် စဲ ($t$)	ဓါတ်ဂမ္တဴ ($T$)

၅။ နဲကဲ သောင်ကလး အဳကွေယှေန်ဂမၠိုင် (Methods of Solving Equations)

ပရေင်ဂၠာဲ သွဟ် သွက် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ($x$) ပ္ဍဲ အဳကွေယှေန် ဂှ် ဒှ် ကမၠောန် အဓိက ပ္ဍဲ အာလ်ဂျဳဗရာ ရ။

၅.၁။ အဳကွေယှေန် လဳနဳယာ (Linear Equations)

ဒှ် အဳကွေယှေန် မနွံကဵု ၚုဟ်မး $x$ ကဆံင် မွဲ (Power 1) သၟး ရ။ ဗီုပြင် ဓမ္မတာ: $ax + b = 0$။ သွက်ဂွံ သောင်ကလး ဂှ် လောဲသွာ ဗွဲမလောန်: $$ax = -b \implies x = -\frac{b}{a}$$

၅.၂။ အဳကွေယှေန် ကွာဒရက်တစ် (Quadratic Equations)

ဒှ် အဳကွေယှေန် မနွံကဵု ၚုဟ်မး $x$ ကဆံင် ၜါ (Power 2) ရ။ ဗီုပြင် ဓမ္မတာ: $ax^2 + bx + c = 0$။ သွက်ဂွံ သောင်ကလး ဍေဟ် ဂှ် ပိုယ် စကာ ဖော်မျူလာ ကွာဒရက်တစ် (Quadratic formula): $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ ဖော်မျူလာ ဏအ်ဝွံ ကဵု သွဟ် သွက် $x$ ၜါ သာ် (မပံင် ကေုာံ မနုက်) ရ။

၅.၃။ သၞောတ် အဳကွေယှေန် (System of Equations)

ယဝ်ရ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ နွံ ၜါ ($x$ ကဵု $y$) မ္ဂး၊ ပိုယ် ဒးနွံကဵု အဳကွေယှေန် ၜါ သွက်ဂွံ သောင်ကလး ဍေဟ် ရ။ ဥပမာ: 1. $x + y = 10$ 2. $x - y = 4$

နကဵု နဲကဲ ပံင် (Elimination)၊ ယဝ်ရ ပိုယ် ပံင် အဳကွေယှေန် ၜါဏအ် မ္ဂး: $(x + x) + (y - y) = 10 + 4 \implies 2x = 14 \implies x = 7$။ တုဲမ္ဂး စုတ် ၚုဟ်မး $x$ ပ္ဍဲ အဳကွေယှေန် (1): $7 + y = 10 \implies y = 3$။

၆။ လွပ် ပ္ဍဲ သင်္ချာ ကဆံင်သၠုင် (Applications in Advanced Mathematics)

ပ္ဍဲကဵု ကဆံင် သင်္ချာ မသၠုင် တိုန် မပ္တံကဵု ကေလ်ကူးလပ်သ် (Calculus) ကေုာံ သ္ၚိအင် အာလ်ဂျဳဗရာ (Linear Algebra) ဂှ်၊ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တအ်ဝွံ ဒှ် အရာ မနက်သြိုဟ် တိုန် ရ။

• ပ္ဍဲ ကေလ်ကူးလပ်သ်: ၚုဟ်မး $x$ ကဵု $y$ တအ်ဂှ် စၞးပြု ကဵု ပရေင်ပြံင်လှာဲ အဆက် (Continuous change) ရ။ ပရေင်ပြံင်လှာဲ မဍောတ်သွတ် အိုတ် (Infinitesimal) တအ်ဂှ် စၟတ်သမ္တီ နကဵု $dx$ ကေုာံ $dy$ ရ။ ဖော်မျူလာ ပရေင်ပြံင်လှာဲ လဟိုင် (Derivative) $\frac{dy}{dx}$ ဂှ် သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် ဗီုလဵု ၚုဟ်မး $y$ ပြံင်လှာဲ ကာလ ၚုဟ်မး $x$ ပြံင်လှာဲ ညိည ရ။
• ပ္ဍဲ သ္ၚိအင် အာလ်ဂျဳဗရာ: ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တအ်ဂှ် ဟွံသေင် ဂၞန် မွဲမ ဓဝ် ပုဟ်၊ ဍေဟ်တအ် ဒှ် ဗက်တာ (Vectors) ဟွံသေင်မ္ဂး သ္ၚိအင် (Matrices) မာန် ရ။ အဳကွေယှေန် ဓမ္မတာ $Ax = b$ ဂှ်၊ $A$ ဒှ် သ္ၚိအင် တုဲ $x$ ကဵု $b$ တအ် ဒှ် ဗက်တာ ရ။

၇။ လွပ် ပ္ဍဲ ကွတ်ကောန်ပျူတာ ကေုာံ ပရဝ်ဂရာမ်

ပ္ဍဲကဵု သိပ္ပံ ကောန်ပျူတာ (Computer science) ကေုာံ ပရေင်ချူ ပရဝ်ဂရာမ် (Programming) ဂှ်၊ "Variable" (ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ) ဝွံ နွံကဵု အဓိပ္ပါယ် တၞဟ်ခြာ နူ သင်္ချာ ညိ ရ။

ပ္ဍဲ ပရဝ်ဂရာမ်၊ Variable ဟီုမ္ဂးဂှ် ဒှ် ယၟု မစၟတ်သမ္တီ လဝ် သွက် ဒၞာဲ တန်သိပ် တင်ဂၞင် ပ္ဍဲ မေမ်မဝ်ရဳ (Memory address) ကောန်ပျူတာ ရ။ ဥပမာ ပ္ဍဲ အရေဝ်ဘာသာ C ဟွံသေင်မ္ဂး Python: ```python x = 10 x = x + 5

ပ္ဍဲ သင်္ချာ မ္ဂး $x = x + 5$ ဂှ် ဒှ် ဟွံမာန် ရ (ဟိုတ်နူ $0 = 5$ ဒှ်အာ)။ ဆဂး ပ္ဍဲ ပရဝ်ဂရာမ် မ္ဂး၊ ဍေဟ် မဂွံအဓိပ္ပါယ် "ကေတ် ၚုဟ်မး တြေံ ပ္ဍဲ $x$ (10)၊ ပံင် စုတ် 5၊ တုဲ ကလေင် သိပ်စုတ် ပ္ဍဲ ဒၞာဲ ယၟု $x$ ဂှ် ပၠန်" ရ။ လညာတ် ဏအ်ဝွံ ကော်စ "Assignment" (ပရေင်ကဵု ၚုဟ်မး) ရ။

၈။ လွပ် ပ္ဍဲ သိပ္ပံ ကေုာံ ရူပဗေဒ (Applications in Science and Physics)

ပ္ဍဲကဵု သိပ္ပံ ကေုာံ ရူပဗေဒ (Physics) ဂှ်၊ ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ တအ် စၞးပြု ကဵု သဘာဝ ရုပ်ဝတ္ထု မၜတ်ကၞာတ် ဂွံ (Physical quantities) ရ။ ဥပမာ ပ္ဍဲ ဖော်မျူလာ မပြာကတ် အိုတ် ရေလဳတဳဗဳတဳ ညး အာလ်ဗတ် အာင်သတာင် (Albert Einstein) ဂှ်: $$E = mc^2$$ $E$ ဂှ် ဒှ် ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ သွက် ဒြဟတ် (Energy)။ $m$ ဂှ် ဒှ် ၚုဟ်မး ပြံင်လှာဲ သွက် လျိုင် (Mass)။ $c$ ဂှ် ဒှ် ၚုဟ်မး တန်တဴ (Constant) မစၞးပြု လဟိုင် လျး ပ္ဍဲ လဟာင်။ ပ္ဍဲ သဳအိုရဳ သိပ္ပံ တအ်ဂှ်၊ သွက်ဂွံ သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် အကာဲအရာ မွဲမွဲ ဂှ်၊ တၠပညာ တအ် ဖန်ဗဒှ် ၚုဟ်မး မွဲ ညံင်ဂွံ တန်တဴ (Control variable) တုဲ ၜတ်ကၞာတ် ပရေင်ပြံင်လှာဲ အကြာ ၚုဟ်မး ဗၠးၜး ကဵု ဒုင်သဇိုင် ရ။

၉။ ပရေင်ကတ်လ္ၚတ် ကေုာံ ပြသၞာ သ္ၚေဝ်ဂၠေပ် (Education and Analytical Problems)

ပ္ဍဲကဵု ဘာလ္ၚတ် ပညာ သင်္ချာ ဂှ်၊ လညာတ် ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ ($x$) ဝွံ ဒှ် အရာ မဇြိုင်အိုတ် သွက် ကွးဘာ အဝဲဍောတ် တအ် ဂွံ ကၠိုဟ်ခၠင် ရ။ ဟိုတ်မ္ဂး ဍေဟ် ဒှ် ပရေင်ပြံင်လှာဲ နူကဵု "သင်္ချာ ရိုဟ်လၟိဟ် ကောန်ကရေတ်" (Concrete arithmetic) မပ္တံကဵု $2 + 3 = 5$ စိုပ် အာ "သင်္ချာ အာဗ်သတြက်" (Abstract algebra) $x + 3 = 5$ ရ။ သွက်ဂွံ ကဵု ကွးဘာ တအ် ကၠိုဟ် လောဲသွာ ဂှ်၊ အစာ တအ် စကာ "ပြသၞာ ဝါကျ" (Word problems) ရ။ ဥပမာ: "သြန် နွံ သီုဖအိုတ် ၁၀ ဒကေဝ်။ ရာန် ကွာင် ၃ ဒကေဝ် မ္ဂး၊ သြန် သှ်ေ မုစိ ရော?" ဂှ် ပြံင်လှာဲ နဒဒှ် သင်္ချာ: $3 + x = 10$ တုဲ၊ ဂၠာဲ $x$ ရ။ လညာတ် ဏအ်ဝွံ ဗတောန် ကဵု ကောန်ၚာ် တအ် ညံင်ဂွံ ချပ် နကဵု လညာတ် ယုတ္တိ (Logical thinking) ရ။

၁၀။ အနာဂတ် ကေုာံ သဳအိုရဳ မဆက်စပ်ဂမၠိုင် (Future and Related Theories)

ပ္ဍဲကဵု အနာဂတ် နည်းပညာ တၟိ မပ္တံကဵု ဥာဏ်ပညာ ကောန်ပျူတာ (Artificial Intelligence) ကေုာံ Machine Learning တအ်ဂှ်၊ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ တအ်ဝွံ ဒှ် သဇိုင် အဓိက ရ။ ပ္ဍဲကဵု ကွန်ရက် ဉာဏ် (Neural Networks) မ္ဂး၊ ၚုဟ်မး မဟွံတီဏီ (Weights and Biases) တအ် နွံ လၟိဟ် မဂၠိုင်ကဵု မဳလဳယာန် ရ။ အလ်ဂဝ်ရဳသမ် ကောန်ပျူတာ ဂှ် ဒးဂၠာဲ သွဟ် သွက် ၚုဟ်မး မဳလဳယာန် ဏအ် ညံင်ဂွံ ကိတ်ညဳ အိုတ် သွက်ဂွံ စၟတ်သမ္တီ ရုပ် ဟွံသေင်မ္ဂး ကၠာဲ ဘာသာ ရ။Goodfellow, I. (2016). Deep Learning. MIT Press, 105-110။  ပ္ဍဲကဵု သဳအိုရဳ ကွမ်တမ် (Quantum mechanics) လေဝ်၊ နွံကဵု လညာတ် "ၚုဟ်မး အောပ်ဓလုက်" (Hidden variables theory) မဒှ် လညာတ် မဟီုတွံ ဒဒှ်ရ သဘာဝ ကွမ်တမ် မထုဲထံင် ဒၟံင် ဂှ် ဟိုတ်နူကဵု ပိုယ် ဟွံတီ ၚုဟ်မး လ္ၚဵု တအ် ဏီ ရောင် (ၜိုန်ရ လညာတ် ဏအ် ဒးဒုင် တးပါဲ လဝ် နကဵု Bell's theorem ဗွဲမဂၠိုင် ကီုလေဝ်)။

ဆက်ဗှ်လ္ၚတ်

အာလ်ဂျဳဗရာ (Algebra) အဳကွေယှေန် (Equation) ဖန်ယှေန် (Function (mathematics)) ကေလ်ကူးလပ်သ် (Calculus)